Электромагнитное поле, излучаемое движущимся диполем

Рассмотрим задачу об излучении электромагнитной волны в вакууме движущимся диполем в постановке, идея которого принадлежит Р. Фейнману [1]. Выберем систему координат , в которой положительный заряд движется по закону , а отрицательный заряд  по закону , постоянно находясь от положительного заряда на расстоянии . Такая пара зарядов образует электрический диполь с “собственным” дипольным моментом, определяемым вектором .

Через векторный потенциал  и скалярный потенциал выводится формула вектора магнитной индукции одиночного заряда

где  задает вектор от заряда до точки наблюдения , соответственно, — единичный вектор, задающий направление.

Производные дипольного момента введены в соответствии с методом Р. Фейнмана. Помещая пару фиктивных зарядов  и в начало координат, равных по величине рассматриваемому заряду, рассматривается диполь, составленный из рассматриваемого заряда одного фиктивного с противоположным знаком. Компоненты поля в проекции на оси координат раскрываются в следующем виде: 

Производные дипольных моментов пары зарядов, образующих диполь, запаздывают на разное время. Дипольный момент положительного заряда зависит от времени , в то время как дипольный момент отрицательного заряда — . Магнитное поле, создаваемое диполем, как единой системой, находится как сумма магнитных полей зарядов, образующих его . Для этого требуется преобразовать поле, например, отрицательного заряда таким образом, чтобы оно запаздывало на то же время, что и положительный. Используем разложение дипольного момента в ряд Тейлора до первой производной: 

тогда — компонента вектора магнитной индукции отрицательного заряда и диполя: 

С учетом того, что дипольные моменты зарядов имеют разные знаки, находим магнитное поле диполя: 

Вектор магнитной индукции диполя в момент времени : 

Расстояние от начала координат до положительного заряда можно определить следующими способами:

• — приближенное выражение, применимо для нахождения поля в сильно удаленной от диполя точке.
•   — точное аналитическое значение.

Исследуем подробно электромагнитное поле, излучаемое диполем, движущимся вдоль оси  со скоростью , как показано на рис. 1.

Получим для  составляющей вектора индукции магнитного поля, излучаемого положительным электрическим зарядом: где в соответствии с методом Р. Феймана введено обозначение .

Аналогичным образом определим  составляющую вектора индукции  магнитного поля, излучаемого отрицательным электрическим зарядом: 

где

Разложим в ряд Тейлора входящие в выражение (7b) функции , ,  и . Учитывая, что излученные диполем электромагнитные волны определяются на большом расстоянии от зарядов, т. е. при , получим: 

Учитывая выражения (8a), (8b), (8c) и (8d), получим выражения для вектора индукции магнитного поля, излучаемого движущимся диполем: 

где учтено, что .

С помощью формулы (9) определим среднюю интенсивность  электромагнитного поля, излучаемого движущимся диполем с относительной диэлектрической и магнитной проницаемостями  и : 

где — вектор Пойтинга, — ориентированный элемент сферической поверхности радиуса , определенный полярным углом и азимутальным углом ; .

При расчетах использовано точное расстояние от зарядов до точки наблюдения .

• От отрицательного заряда: ,
• От положительного заряда: ,

где — закон движения отрицательного заряда, известный изначально.

Результаты математического моделирования для равноускоренного движения (закон движения отрицательного заряда  ) показаны на рис. 2—4.

Результаты математического моделирования для колебаний по закону синуса [3] (закон движения отрицательного заряда ) показаны на рис. 5–7.

На рис. 4. компонента со второй производной и компонента с третьей производной при сопоставлении формы графической зависимости имеют практически одинаковый характер.

На рис. 3 и 6 представлена графическая зависимость поля (компонента вектора магнитной индукции) от расстояния между зарядами, на которых представлено не только суммарное влияние, но и влияние, оказываемое каждым зарядом. При анализе разных типов движения амплитуда поля имеет различие в один порядок. Таким образом, расположение заряда относительно точки наблюдения и расстояние между зарядом оказывает существенное влияние на распределение поля в пространстве.

На рис. 7 изображены компоненты магнитного поля, которые при расчете используют составляющие второй и третьей производной. Характер движения рассматриваемого диполя находит отражение и в форме получаемых графиков для компонент магнитного поля. Данный график третьей производной ассиметричен, а в случае второй производной график имеет симметрию, отражающую периодичный характер движения исходного диполя. Вклад составляющей, рассчитанной по третьей производной при данных условиях, оказывается на девять порядков ниже, чем вторых производных, что свидетельствует о более быстром затухании электромагнитного поля в зависимости от расстояния, однако величина такой составляющей остается существенной для использования в последующих расчетах.

В случае равноускоренного движения магнитная индукция: , а в случае колебаний по закону синуса: Тл.

Запишем формулу для магнитной индукции: В дальнейшем значения относительной диэлектрической () и магнитной () проницаемостей примем равные единице: Напряженность магнитного поля: Равенство, связывающее амплитуды колебаний электрической и магнитной компонент [2, 4]:

Учитывая соотношения (11), (12) и (13), найдем напряженность электрического поля для каждого из видов движений и , (соответственно электрическая и магнитная постоянные):

вектор Пойнтинга: Учитывая соотношения (12), (14), (15) и значения магнитной индукции для двух типов движения:

соответственно, интенсивность поля: При исследовании характера распределения электромагнитного поля с учетом расположения оказалось, что вблизи оказывает влияние компонента третьей производной, а по мере удаления имеет место классическое излучение, то есть на больших расстояниях данной частью можно пренебречь.

Результаты работы позволяют получить оценки радиационного трения при движении диполя за счет энергии излучения. В отличие от известных работ в рассмотренном случае оказывается, что излучение диполя и вектор Пойнтинга определяется третьими производными. Величина оказывается сравнима с потерями вследствие радиационного трения. Отличительной чертой при данном рассмотрении являются малые размеры диполя. Показано, что в этом случае мощность излучения определяется квадратом третьей степени момента диполя, в отличие от известных выражений. Данное заключение оказывает существенное влияние при рассмотрении гармонических волн для терагерцовых излучений.