Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Решение задачи для уравнения Шредингера в 1D квантовом колодце (КК) с движущейся стенкой имеет длинную историю. Первая статья появилась в 1969 году [1]. Там была получена точная волновая функция только в случае движения стенки с постоянной скоростью. Несмотря на многочисленные попытки найти точную волновую функцию для неравномерных движений [2–4], такая задача не была решена. Однако, существует практическая потребность получения такого решения [5]. По-видимому, необходим поиск такого пути и в его основу должны быть положены физические принципы существования квантовой частицы в таком КК, соответствующие постулатам квантовой механики и автоматически реализующие граничные условия. Нам удалось реализовать эту программу и получить вид зависимости энергии от времени.
Во-первых, была введена пробная функция. С её помощью была получена амплитуда волновой функции. Учитывалось, что частица всё время находится в КК. Рациональный выбор пробной функции позволил прийти к результату, не зависящему от характера движения стенки при гладкой функции времени, определяющей относительную ширину КК. Далее с помощью решения уравнения Шредингера был осуществлён переход к вычислению зависимости от времени энергии уровня и была получена формула
(1)
где — безразмерная ширина 1D КК; — безразмерное время; — безразмерная координата; — энергия первого уровня в стационарной задаче, — ширина уровня, причем в стационарной задаче. Выполним анализ слагаемых, входящих в формулу (1).
Первое слагаемое зависит от номера уровня . В нем подынтегральная функция обратно пропорциональна квадрату безразмерной ширины КК. Второе слагаемое линейно зависит от логарифма безразмерной ширины КК. Третье слагаемое линейно зависит от квадрата безразмерной координаты внутри КК, причем подынтегральная функция есть квадрат отношения безразмерной скорости стенки к относительной ширине КК:
Первые три слагаемых всегда являются действительными числами, а четвертое слагаемое остается мнимым. Перейдем к анализу физического смысла каждого слагаемого.
Первое слагаемое есть компонента энергии, зависящая от номера уровня и при неподвижной стенке оно точно переходит в энергию того же уровня в стационарной задаче. Второе слагаемое определяет логарифмическую поправку к сдвигу уровня. Это слагаемое не зависит от номера уровня. Третье слагаемое определяет поправку к сдвигу уровня от хаоса, возникающего при движении стенки. Для случая движения стенки с постоянной скоростью это слагаемое было впервые обнаружено в [1]. Третье слагаемое также не зависит от номера уровня. Четвертое слагаемое определяет ширину уровня и не зависит от номера уровня. Это слагаемое отсутствует в случае неподвижной стенки. В формуле (1) все слагаемые имеют общий вид. Конкретные формулы для всех четырёх слагаемых зависят от временной зависимости ширины КК. Следовательно, движение стенки КК существенно изменяет энергию n-ого уровня.
Рассмотрим разность энергий двух произвольных уровней. Согласно формуле (1) имеем
(2)
Если считать, что наблюдаемой величиной является разность двух уровней, то слагаемые второе, третье и четвертое не влияют на эту величину. Этот вывод представляется универсальным.
В качестве примера рассмотрим равноускоренное движение стенки, а именно:
где — безразмерное ускорение. После интегрирования получаем формулу
(3)
Все полученные формулы являются точными. Область применимости этих формул, когда частица и стенка движутся с нерелятивистскими скоростями.
