Главная Препринты Аналитическое исследование нестационарных тепловых процессов в активных элементах лазеров

Аналитическое исследование нестационарных тепловых процессов в активных элементах лазеров

Язык труда и переводы:
УДК:
517.956
Дата публикации:
21 декабря 2022, 13:24
Категория:
Математическое моделирование физических процессов и технических систем
Авторы
Латыпов Ильмир Ибрагимович
Бирский филиал УУНиТ
Аннотация:
Рассмотрена задача аналитического исследования распределения тепла в активных элементах твердотельных лазеров. Математическая модель выписывается в виде нестационарной краевой задачи уравнения теплопроводности для активного элемента в виде пластины. В постановке задачи отражены явления связанные с особенностями поглощения излучения накачки в активных средах и термооптических искажений, возникающих в них. Исследование тепловых процессов в активных элементах сводится к аналитическому решению сингулярно возмущенной нестационарной краевой задаче уравнения теплопроводности с нелинейными граничными условиями на подвижных границах.
Ключевые слова:
твердотельный лазер, активный элемент, поглощение излучения накачки, термооптические искажения, краевая задача, уравнение теплопроводности, сингулярное возмущение
Основной текст труда

Современное развитие техники, технологии и научных исследований невозможно без использования лазерной техники. Среди лазерных технологических установок для сварки, резки, закалки и отжига материалов, сверления отверстий и других операций ведущее место в настоящее время принадлежит установкам с твердотельными лазерами, которые так же используются для исследований и испытаний различных материалов, получения высокотемпературной плазмы. При этом для достижения высоких и стабильных параметров лазеров и лазерного излучения необходим учет в конструкции лазера и при управлении режимами их работы различных эффектов, вызванных нагревом различных элементов лазерной остановки. Для обеспечения стабильности параметров лазера и эффективности лазерного излучения необходим правильный выбор теплового режима элементов излучателя, а также учет и компенсация термооптических искажений. Наиболее сильным термооптическим искажением среди элементов лазерного резонатора подвержен активный элемент, в котором происходит значительное тепловыделение при преобразовании поглощаемого ионами активатора излучения ламп накачки в лазерное  излучение [1].

Важным с практической точки зрения является исследование распределения температуры в объеме активной среды. Это особенно важно для оптически плотных сред, которые характеризуются  сильным поглощением спектрально-серого излучения импульсных ламп накачки. Основные особенности поглощения излучения накачки в таких активных средах позволяют с достаточной степенью точности аппроксимировать распределение объемных источников тепловыделения в активной среде законом Бугера [2].

В докладе ставится и решается задача нахождения распределения температуры в активном элементе твердотельного лазера в режиме охранного нагрева с учетом радиационной и конвективной составляющей теплообмена, проводится численное расчет поставленной задачи. Активный элемент рассматривается в виде пластины, у которой длина много больше остальных размеров, поэтому исходная задача, считая что теплофизические параметры не зависят от температуры [1, 2], может быть записана в виде одномерной краевой задачи уравнения теплопроводности

          {\frac {\partial U(\xi ,\tau )}{\partial \tau }}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}U(\xi ,\tau )}{\partial \xi ^{2}}}+k(\tau ){\frac {\partial U(\xi ,\tau )}{\partial \xi }}+Q(\xi )+A[U(\xi ,\tau )],~~(\xi ,\tau )\in \Omega                                      (1)

                                U(\xi ,\tau )=U_{0}(\xi ),~~~\tau \to 0   ,                                                                                  (2)

    \lambda {\frac {\partial U(\xi ,\tau )}{\partial \xi }}=-q_{1}(\tau )+\beta _{1}[U(\xi ,\tau )-U_{1}]+\sigma _{1}[U^{4}(\xi ,\tau )-U_{1}^{4}],~~~\xi =0 ,                                                  (3)

    \lambda {\frac {\partial U(\xi ,\tau )}{\partial \xi }}=q_{2}(\tau )-\beta _{2}[U(\xi ,\tau )-U_{2}]-\sigma _{2}[U^{4}(\xi ,\tau )-U_{2}^{4}],~~~\xi =2h ,                                               (4)

(\xi ,\tau )\in \Omega =\{(\xi ,\tau ):0<\xi <2h,~0<\tau \leq t_{0}\} ,         

Q(\xi )={\frac {k_{0}\cdot P_{n}}{V_{s}}}{\bar {\alpha }}h{\frac {ch({\bar {\alpha }}(\xi -h))}{sh({\bar {\alpha }}h)}} ,          

где U(\xi ,\tau ) — искомая функция (температура тела); Q(\xi ) — объемная плотность тепловыделения в активной среде; k_{0} — доля энергии накачки, которая непосредственно превращается в тепло; {\bar {\alpha }} — спектрально-средний коэффициент поглощения; P_{n} — мощность оптической накачки; V_{s} — объем активного тела (пластины); 2h — толщина пластины; \lambda ,~a^{2} — коэффициенты теплопроводности и температуропроводности; U_{0}(\xi ) — начальное распределение температуры; q_{1}(\tau ),q_{2}(\tau ) , U_{1},U_{2} — тепловой поток и температура среды на соответствующих гранях; \sigma _{1},\sigma _{2},\beta _{1},\beta _{2} — постоянные.

Компонент k(\tau ){\frac {\partial U(\xi ,\tau )}{\partial \xi }} в дифференциальном уравнении описывает тот факт, что центры окраски, одновременно являясь источниками тепловыделения, образуют как бы полупрозрачную для излучения накачки границу. Коэффициент K(\tau ) отражает временную зависимость поглощательной способности кристалла, вызванной образованием центров окраски. Кинетика процесса образования центров окраски в кристалле носит короткоживущий характер (время жизни центров окраски колеблется от миллисекунд до нескольких секунд) [2, 3].

В данной работе поглощательная способность материала аппроксимирована зависимостью вида

A[U(\xi ,\tau ]=A_{0}+A_{1}\cdot U(\xi ,\tau ),~~A_{i}=const,~i=0,1 .

Введем безразмерные переменные \xi ={\bar {x}}\cdot x , \tau ={\bar {t}}\cdot t , U({\bar {x}}\cdot x,{\bar {t}}\cdot t)=T(x,t) , U_{0}({\bar {x}}\cdot x)=T_{0}(x) , получим сингулярно возмущенную краевую задачу с малым параметром Fo,~~0<Fo\ll 1 :

{\frac {\partial T(x,t)}{\partial t}}=Fo{\frac {\partial ^{2}T(x,t)}{\partial x^{2}}}+K(t){\frac {\partial T(x,t)}{\partial x}}+q(x)+B[T(x,t)] ,                                                     (5)

                                               T(x,t)=T_{0}(x),~~t\to 0 ,                                                                                         (6)

{\frac {\partial T(x,t)}{\partial x}}=(-1)^{i}\varphi _{i}(t)+(-1)^{i+1}[{\bar {\beta }}_{i}[T(x,t)-U_{i}]+\gamma _{i}[T^{4}(x,t)-U_{i}^{4}]],~~x=(i-1)H ,                      (7)

где   (x,t)\in \Omega '=\left\{(x,t):~0<x<h,~0<t\leq {\bar {t}}_{0}\right\} , Fo={\frac {a^{2}{\bar {t}}}{{\bar {x}}^{2}}},~~0<Fo\ll 1 , \alpha ={\bar {\alpha }}\cdot {\bar {x}} , H=2h/{\bar {x}} , {\bar {t}}_{0}=t_{0}/{\bar {t}} ,

\varphi _{i}(t)={\frac {\bar {x}}{\lambda }}q_{i}({\bar {t}}\cdot t) , \gamma _{i}={\frac {\bar {x}}{\lambda }}\sigma _{i} , {\bar {\beta }}_{i}={\frac {\bar {x}}{\lambda }}\beta _{i} , i=1,2 ;

F(x)={\frac {ch(\alpha (x-H/2))}{sh(\alpha H/2)}} , q(x)={\frac {kP_{n}}{2V_{s}}}{\frac {\bar {t}}{{\bar {x}}^{2}}}\alpha H\cdot F(x)=q_{0}\cdot F(x) , K(t)=k({\bar {t}}\cdot t){\frac {\bar {t}}{{\bar {x}}^{2}}} , 

B[T(x,t)]=B_{0}+B_{1}\cdot T(x,t),~B_{j}=A_{j}{\frac {\bar {t}}{{\bar {x}}^{2}}},~j=0,1 .

После замены переменных \xi =x+\int _{0}^{t}K(s)ds=(i-1)\cdot H+\vartheta (t) , t=\tau , затем переобозначая ( \xi \to x,~\tau \to t ) приходим к сингулярно возмущенной краевой задаче уравнения теплопроводности с нелинейными граничными условиями на подвижных границах

\psi (t)=(i-1)\cdot H+\int _{0}^{t}K(s)ds=(i-1)\cdot H+\vartheta (t),~i=1,2 ,

(x,t)\in \Omega ''=\left\{(x,t):\psi _{1}(t)<x<\psi _{2}(t),~0<t\leq {\bar {t}}_{0}\right\} .

Данная сингулярно возмущенная краевая задача решается «геометро-оптический» асимптотическим методом [4], исследуя интегральное представление решения записанного с помощью функции Грина. Для этого находится асимптотические разложения по степеням малых параметров функции Грина, а затем и самого решения [4, 5]. Для асимптотического исследования интегралов используется метод Лапласа или его модификация. Приближенное решение краевой задачи получаем в виде асимптотических разложений по степеням малых параметров в смысле Пуанкаре [3–12].

Полученные результаты позволяют исследовать рассматриваемый процесс как на качественном, так и на количественном уровне; выявить влияние режимов облучения, радиационной и конвективной составляющей, начальной температуры и теплового источника на распределение температуры в активном элементе лазера [7, 9].

Литература
  1. Алпатьев А.Н., Данилов А.А., Никольский Н.Ю., Прохоров А.Н., Цветков В.Б., Щербаков И.А. Особенности тепловых и генерационных режимов оптически плотных активных сред. Изд. АН СССР. Труды института общей физики, 1990, т. 26, с. 107–124.
  2. Мезенов А.В., Сомс Л.Н., Степанов А.И. Термооптика твердотельных лазеров. Ленинград, Машиностроение, 1986, 197 с.
  3. Несененко Г.А., Латыпов И.И., Насельский С.П. Приближенный расчет температурного поля активного элемента лазера при охранном нагреве. Нелинейные краевые задачи мат. физики и их приложения. Киев, Инт. математики АН Украины, 1993, с. 94–95.
  4. Kravchenko V.F., Nesenenko G.A., Latypov I.I. An application of integral equations to a singularly perturbed nonstationary boundary value problem for the heat equation in a domain with moving boundaries. Differential Equations, 1999, vol. 35 (9), pp. 1184–1189.
  5. Латыпов И.И. Асимптотическое разложение функции Грина сингулярно возмущенной краевой задачи уравнения теплопроводности с подвижными криволинейными границами. Вестник Бирск. гос.соц.-пед. академии, 2005, вып. 6, с. 60–66.
  6. Латыпов И.И. Асимптотика решения краевой задачи уравнения теплопро-водности для тонкой пластины с комбинированным теплообменом. Комплексный анализ, дифф. уравнения и смежные вопросы. III. Дифф. уравнения и анализ. Институт математики с ВЦ РАН. Уфа, 2000, с. 126–131.
  7. Латыпов И.И. Приближенный расчет распределения температурного поля активного элемента твердотельного лазера. Труды кафедры экспериментальной и теоретической физики института физики молекул и кристаллов УНЦ РАН. Уфа, Гилем, 2001, вып. 1, с. 82–92.
  8. Латыпов И.И. Исследование нестационарных тепловых процессов в актив-ных элементах твердотельных лазеров. III Российская национальная конференция по теплообмену (РНКТ3). В 8 т. Москва, 21–25 октября 2002 г. Москва, Изд-во МЭИ, 2002, т. 7, с. 171–174.
  9. Латыпов И.И., Шакиров Р.А., Улитин Н.В. Приближенное решение задачи нахождения распределения температуры в активных элементах твердотельных лазеров. Вестник Казанского технологического университета, 2014, т. 17, № 5, с. 80–86.
  10. Latypov I.I. Approximate solution to a singular perturbed boundary value problem of thermal shielding. Journal of Physics: Conference Series, 2017, vol. 918, art. no. 012005. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/918/1/012005
  11. Латыпов И.И. Задача тепловой защиты материала. Необратимые процессы в природе и технике. XI Всероссийская конференция: сб. тр. конф. в 2-х т. Москва, 26–29 января 2021 г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2021, с. 179–182.
  12. Latypov I.I., Bigaeva L.A., Mukhametshina G.S. et al. Analytical study of the non-stationary temperature field of a thermally thin plate. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2021, vol. 1155, art. no. 12007. DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899X/1155/1/012007
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.