Главная Препринты Расчет ЭДС самоиндукции внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла

Расчет ЭДС самоиндукции внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла

Язык труда и переводы:
УДК:
539.23+539.216.1+537.311.31
Дата публикации:
04 декабря 2022, 00:12
Категория:
Перспективные направления исследования необратимых физических процессов
Авторы
Харитонов Кирилл Евгеньевич
Государственный гуманитарно-технологический университет
Завитаев Эдуард Валерьевич
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Русаков Олег Владимирович
Государственный гуманитарно-технологический университет
Аннотация:
Выполнен расчет ЭДС самоиндукции внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла на основе решения кинетического уравнения Больцмана для электронов в металле. Рассмотрен общий случай, когда отношение длины свободного пробега электронов к радиусу проволоки может принимать произвольные значения. В качестве граничных условий задачи принято условие зеркально-диффузного отражения электронов от внутренней поверхности проволоки.
Ключевые слова:
тонкая проволока, ЭДС самоиндукции, магнитный поток, самоиндукция
Основной текст труда

Электрические и магнитные свойства проводников, линейный размер которых сравним с длиной свободного пробега электронов {\mathit {\Lambda }} , существенно отличается от свойств «массивных» проводящих объектов.

Вопросы, касающиеся расчета электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, обсуждались в работах [1, 2]. Расчеты магнитной индукции внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла были получены в работах [3, 4]. Самоиндукция внутри такой проволоки определялась в работе [5]. В упомянутых работах применяется подход, основанный на решении кинетического уравнения Больцмана, для электронов в металле.

В данной работе рассматривается цилиндрическая проволока из немагнитного металла (относительная магнитная проницаемость ( \mu \approx 1 ) радиуса R и длины D (будем считать, что D\gg R ), к концам которой приложено переменное электрическое напряжение частоты \omega . Принимается, что направление электрического поля совпадает с осью цилиндра. Скин-эффект не учитывается (предполагается, что R<\gamma – глубины скин-слоя).

Однородное периодическое по времени t электрическое поле, вектор напряженности которого \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\mathbf {0} }exp(-i\omega t) , воздействует на электроны проводимости внутри проволоки и вызывает появление внутри нее высокочастотного тока с плотностью \mathbf {j} .

Проведем расчет ЭДС самоиндукции, обусловленной изменением силы тока I внутри проволоки.

Как известно, применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, получим, что ЭДС самоиндукции

\varepsilon _{s}=-L{\frac {dI}{dt}},                                                                       (1)

где L — самоиндукция — это коэффициент пропорциональности между магнитным потоком {\mathit {\Phi }} и силой тока I , создающей магнитное поле.

Так какэлектрическое поле \mathbf {E} однородное и периодическое по времени t , следовательно, то же самое можно сказать и про силу тока I , которая возникает под действием данного электрического поля

I={I}_{0}exp(-i\omega t)\Rightarrow {\frac {dI}{dt}}=-i\omega {I}_{0}exp(-i\omega t)=-i\omega I.                           (2)

Поэтому ЭДС самоиндукции можно переписать в виде \varepsilon _{s}=-i\omega LI , а с учетом того, что L={\mathit {\Phi }}/I , получаем

\varepsilon _{s}=-i\omega {\mathit {\Phi }}.                                                                     (3)

Выражение для магнитного потока {\mathit {\Phi }} , где в качестве граничного условия использовались условия зеркально-диффузного отражения электронов (модель Фукса), получено в работе [5]:

{\mathit {\Phi }}={\frac {3{\mu _{0}}ne^{2}R^{3}E_{z}D}{\pi v_{F}m}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{\delta }\int _{0}^{1}\int _{0}^{\pi }{\frac {\xi \rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}{\delta \nu }}\left({\frac {(q-1)exp(-\nu \eta /\rho )}{1-qexp(-\nu \eta _{0}/\rho )}}+1\right)d\delta d\xi d\rho d\alpha ,                      (4)

где \xi ={\frac {r_{\perp }}{R}},\;\;\;\rho ={\frac {v_{\perp }}{v_{F}}},\;\;\;\delta ={\frac {r_{\perp B}}{R}},\;\;\;\nu =\left({\frac {1}{\tau }}-i\omega \right){\frac {R}{v_{F}}},

\eta =\xi \cos \alpha +{\sqrt {1-\xi ^{2}\sin ^{2}\alpha }},\;\;\;\;\;\eta _{0}=2{\sqrt {1-\xi ^{2}\sin ^{2}\alpha }}.

Здесь \mu _{0} — магнитная постоянная вакуума; n , e , m — соответственно, концентрация, заряд и масса электронов; v_{F} — скорость Ферми; \tau — электронное время релаксации.

Подставив (4) в формулу (3) получаем искомую ЭДС самоиндукции:

\varepsilon _{s}={\frac {3i{\omega }{\mu _{0}}ne^{2}R^{3}E_{z}D}{\pi v_{F}m}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{\delta }\int _{0}^{1}\int _{0}^{\pi }{\frac {\xi \rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}{\delta \nu }}\left({\frac {(q-1)exp(-\nu \eta /\rho )}{1-qexp(-\nu \eta _{0}/\rho )}}+1\right)d\delta d\xi d\rho d\alpha .              (5)

Литература
  1. Завитаев Э.В., Юшканов А.А. Высокочастотная проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла. Микроэлектроника, 2008, т. 37, № 6, с. 429–438.
  2. Кузнецова И.А., Чапкин А.В., Юшканов А.А. Влияние механизма поверхностного рассеяния электронов на высокочастотную проводимость тонкой металлической проволоки. Микроэлектроника, 2011, т. 40, № 1, с. 45–51.
  3. Завитаев Э.В., Русаков О.В., Харитонов К.Е. Расчет магнитной индукции внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла. Вестник Московского государственного областного университета. Физика — Математика, 2016, № 2, с. 74–84.
  4. Завитаев Э.В., Русаков О.В., Уткин А.И., Харитонов К.Е. Зависимость магнитной индукции внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла от механизма поверхностного рассеяния электронов. Микроэлектроника, 2022, т. 51, № 2, с. 1–7.
  5. Завитаев Э.В., Харитонов К.Е. Расчет самоиндукции тонкой цилиндрической проволоки из металла. Физические свойства материалов и дисперсных сред для элементов информационных систем, наноэлектронных приборов и экологичных технологий: сб. тр. междунар. конф. (17–19 апреля 2018 г.). Москва, Диона, 2018, с. 56–59.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.