Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
В различных областях естествознания и техники дискретные системы с взаимодействием составляющих их элементов задаются кинетическими схемами. Аналитические методы исследования дискретных стохастических моделей, задаваемых схемами взаимодействий базируются на рассмотрении дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей марковских процессов со счетным числом состояний.
В математической теории эпидемий [1] существуют две основные модели: общей эпидемии или эпидемии Бартлетта — Мак-Кендрика и простой эпидемии или эпидемии Вейса. Вторая из них достаточно хорошо изучена, с первой связаны некоторые до сих пор нерешенные проблемы. Однородный во времени марковский процесс эпидемии с непрерывным временем и дискретным множеством состояний Бартлетта — Мак-Кендрика с переходными вероятностями интерпретируется как развитие эпидемии в популяции. Состояние означает наличие частиц типа (переносчиков инфекции) и частиц типа (восприимчивых).
Пара инфицированных и восприимчивых частиц превращается в пару двух инфицированных частиц (или двух носителей).
Схема взаимодействий . Для процесса эпидемии Вейса пара инфицированных и восприимчивых частиц превращается в одну инфицированную частицу (вторая изымается из популяции). Схема взаимодействий .
Для процесса определяются финальные вероятности для поглощающих состояний (т. е. состояний, в которых нет переносчиков):
Задача нахождения распределения финальных вероятностей является актуальной [2].
Опишем алгоритм вычисления производящей функции финальных вероятностей
для частного случая вероятностей . Для каждой вероятности рассмотрим соответствующие ей наборы траекторий [3] как ориентированный взвешенный граф, весами которого служат известные элементарные вероятности переходов, обозначим их так:
и ,
— начальная, — конечная вершина источника.
Всякому источнику взаимно-однозначно соответствует регулярный язык. Все слова этого языка описывают множество траекторий из начальной вершины в конечную.
Заметим, что при фиксированной начальной вершине каждая траектория содержит один и тот же набор нисходящих переходов, задаваемых , которые не зависят от , вертикальных для процесса эпидемии Вейса и диагональных для процесса эпидемии Бартлетта — Мак-Кендрика. Поэтому каждое слова языка, задаваемое начальной вершиной будет содержать все эти буквы в разном порядке и ровно один раз. В коммутативном случае можно было бы вынести за скобку общий множитель . Индекс в букве соответствует нисходящему переходу, а порядок буквы в слове указывает на момент перехода между слоями, номера которых суть индексы ближайших левой и правой букв . Если заменить их пустыми буквами то индексы оставшихся слева и справа букв сохранят информацию о переходе на слой ниже. Таким образом, при замене всех на мы сохраняем взаимнооднозначное соответствие исходному набору траекторий. И это позволяет детерминировать каждый источник.
Источник с алфавитом называется детерминированным, если он имеет ровно одну начальную вершину и из каждой вершины выходит ровно ребер, и всем этим ребрам приписаны разные буквы алфавита . Для любого источника можно построить детерминированный источник, порождающий тот же язык (эквивалентный детерминированный источник). Для этого применяется процесс детерминизации источника. Вершинам детерминированного источника будут поставлены в соответствие некоторые подмножества (будем называть их массивами) множества вершин исходного источника. В качестве начальной вершины детерминированного источника возьмем массив, состоящий из начальных вершин источника и вершин, которые достижимы из этих начальных по путям, составленных из пустых ребер (эти пути порождают пустое слово ). Далее, для любой буквы рассмотрим всевозможные пути, выходящие из некоторой вершины массива и порождающие слово a (если такие существуют). Множество концов таких путей также составляют массив. Если же путей с указанным свойством не существует, то введем пустую вершину. И так далее. На рисунке изображен детерминированный источник с десятью вершинами, полученный для финальных вероятностей процесса эпидемии Бартлетта — Мак-Кендрика. Ребра в пустую вершину на рисунке не указаны.
Далее, для источника выписывается матрица. При ее решении приходим к зависимостям между искомыми регулярными выражениями. Для регулярных выражений, равных финальным вероятностям имеет место трёхчленное соотношение, из которого по теореме Пинкерле [4] следует разложение в цепные дроби.
Для простой эпидемии в частном случае изложенный выше алгоритм дает для отношения регулярных выражений следующую цепную дробь . Сравнивая с эйлеровским разложением в конечную дробь получаем , полагая . Отсюда, заменив на , на , и, домножая на получаем производящую фунцию =, что соответствует известной формуле финальной вероятности эпидемии Вейса.
Для общей эпидемии в частном случае получен следующий результат.
Пусть , тогда отношение финальных вероятностей процесса эпидемии Бартлетта — Мак-Кендрика представляется в виде конечной цепной дроби , где
где ,
— однородные многочлены, например, где — симметрический многочлен степени от двух переменных,
, где — симметрический многочлен степени от трех переменных.
Для общей эпидемии решение уравнения Колмогорова для двойной производящей функции финальных вероятностей может быть получено методом Римана при наличии дополнительного начального условия на производную, выразимую через . Предложенный метод вычисления финальных вероятностей был проверен на простой эпидемии и может быть полезен при поиске начального условия марковского процесса общей эпидемии.
