Решение задачи рационального проектирования фермы космического аппарата с учетом необратимого поведения при нагружении

В рамках курсового проекта, выполняемого на кафедре СМ1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, возникла задача рационального проектирования переходной фермы космического аппарата для пилотируемой лунной экспедиции [1, 2]. Под рациональным проектированием понимается проектирование фермы наименьшей массы среди изделий относительно простой конструкции, удовлетворяющих требованиям прочности и устойсивости. Решение данной задачи было выполнено в два этапа:

1. Проектный расчет на основе упрощенной математической модели, допускающей аналитический подход к определению геометрических параметров фермы.
2. Поверочный расчет численными методами, дающий заключение об удовлетворении фермой условий прочности и устойчивости.

Ферма будет представлять собой набор стержней, ограниченный конической поверхностью с диаметрами оснований D₁ = 3,10 м и D₂ = 4,00 м, высотой H = 2,50 мм (рис. 1). Сечение фермы выбрано кольцевым, проектных параметров три: радиусы, характеризующие сечение R₁, R₂ и количество стержней 2I.

Методика проектирования основана на аналитическом расчете, приведенном в [3]. Специальные гипотезы, упрощающие математическую модель (фундаментальные гипотезы строительной механики остаются неизменными):

• стержни одинаковой длины и сечения;
• в узлах стержней установлены шарниры (как следствие, стержни не работают на изгиб);
• треугольник отдельной фермы может воспринимать силы только в своей плоскости.

В данной постановке ферма нагружена лишь сжимающей силой N = 780 кН и изгибающим моментов M = 125 кН. Тогда можно выразить сжимающие силы в каждой паре стержней:

Силу в самом нагруженном стержне обозначим следующим образом:

Будем считать, что при такой нагрузке происходит потеря устойчивости стержня. Тогда, выражая ее через критическую силу для шарнирно опертого стержня (E — модуль упругости материала):

Используем условие равнопрочности: будем говорить, что потеря устойчивости начинается одновременно с текучестью:

Из предложенных уравнений можно выразить радиусы R₁ иR₂, тогда независимый проектный параметр остается только один. Массу фермы можно записать следующим образом (рис. 2):

Из графика можно сделать вывод, что при увеличении числа шарниров на более чем до 16–20 масса фермы уменьшается незначительно (рис. 3). Дальнейшее увеличение числа шарниров приведет больше к усложнению технологии изготовления фермы, чем к уменьшению массы.

Таким образом, с помощью проектного расчета можно аналитически задать число стержней фермы и определить значения радиусов кольца сечения.

Проводя проектный расчет, следует понимать, что определенные в ходе него геометрические параметры могут завышать прочностные характеристики конструкции. Так, в отличие от расчетной модели в предыдущем пункте, поверочный расчет должен учесть следующие факторы:

1. Стержни воспринимают изгибные нагрузки.
2. Существуют концентраторы напряжений в местах резкого уменьшения радиуса кривизны поверхности, которые определяют прочностные показатели конструкции.

Был проведен поверочный расчет методом конечных элементов в линейной постановке (напряжения имеют размерность кгс/мм²). Его результаты представлены на рис. 4.

Зоны, в которых напряжения превышают предел текучести материала 14,5 кгс/мм², занимают значительную часть всей конструкции.  При этом максимальное напряжение 44,2 кгс/мм² больше предела прочности 31,5 кгс/мм².

Повторим расчет, учитывая нелинейные свойства материала. Зададим билинейный закон упрочнения: деформации 0 соответствует напряжение 0, деформации 0,002 — напряжение 14,5 кгс/мм², деформации 0, 150 — напряжение 31,5 кгс/мм² [4].

Поле напряжений той же конструкции с учетом геометрической и физической нелинейности выглядит так, как показано на рис. 5.

Можно увидеть, что область превышения предела текучести меньше, чем в линейной постановке, а максимальные напряжения 17,0 кгс/мм² значительно меньше предела прочности. Заключение об устойчивости проводим по малым максимальным перемещениям в конструкции (7 мм).

Таким образом, в ходе решения задачи проектирования переходной фермы космического аппарата для пилотируемой лунной экспедиции были проведены:

1. Проектный расчет на прочность и устойчивость, в результате которого были назначены три геометрических параметра: радиусы колец в сечении стержня R₁, R₂ и количество стержней 2I.
2. Поверочный расчет на прочность и устойчивость, в результате которого был сделан вывод о необходимости рассмотрения нелинейных свойств материала, из которого изготовлена ферма. При напряжениях, больших предела текучести, в конструкции возникают необратимые остаточные деформации. То есть при разгрузке конструкции, она не вернется в первоначальное состояние или, другими словами, нагружение фермы в данном расчете является необратимым процессом.

Поверочный расчет показывает, что наибольшие напряжения в реальной конструкции превышают напряжения, которые были заданы в проектном расчете менее, чем на 15 %. Учитывая относительную доступность аналитической методики, можно считать ее достаточно эффективной в рамках решения поставленной задачи.