Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Запишем математическую модель движения упругого тела в гравитационном поле. Динамика падающего упругого тела, если пренебречь сопротивлением воздуха и некоторыми другими факторами, может быть описана следующим уравнением:
,
где — масса упругого тела, — сила тяготения, — время, — расстояние от поверхности, на которую вертикально падает упругое тело. Удобнее записать его в виде, обозначая
как ускорение свободного падения,
(1)
Именно это уравнение (1) и будет рассматриваться в дальнейшем. К этому уравнению необходимо добавить начальные условия. Так как движение упругого тела можно разбить на две фазы: падение (скорость не положительна) и подъем (отскок, скорость не отрицательна), то и начальных условий будет по паре для каждой фазы отдельно. Для фазы падения (ФПА):
(2)
Здесь — момент времени начала фазы падения упругого тела, а n — ее номер. Причем
t1 = 0, n = 1, 2,… a1,n— высота падения, a2,n — начальная скорость фазы падения.
Аналогично для фазы подъема упругого тела:
(3)
В (3) — момент времени начала фазы подъема упругого тела, а n — ее номер. Причем b1,n — начальная высота подъема, b2,n — начальная скорость подъема. Моменты времени tn и связаны, каким образом — будет указано ниже.
Именно в этой хронологической последовательности будут рассмотрены эти фазы движения. Фазы зависят друг от друга только по начальным условиям, следующим образом. Конечные условия предыдущей фазы становятся начальными условиями последующей фазы с учетом потери (рассеяния) энергии. При этом сумма потенциальной и кинетической энергии равна постоянной величине. Потенциальная энергия переходит в кинетическую и, наоборот, с учетом потерь (рассеяния) энергии или перехода её в тепловую, деформации и другие виды энергии. Сумма же всех видов энергии в количественном отношении остается неизменной. Пусть движение упругого тела, как было сказано выше, начинается с фазы падения с высотыh (cм. начальные условия (2)). Так как за фазой падения начинается фаза подъема упругого тела, то одновременно является временем конца фазы падения и .
Дано:
коэффициент рассеяния энергии или, будем называть его, редуцирования ;
число наблюдаемых фаз движения упругого тела ;
номер участка n; ускорение свободного падения ;
начальная высота, с которой падает упругое тело ;
начальный момент времени . .
Введем обозначения:
, , (4)
Ниже будет показано, что вычисление tn можно проводитьпо следующей рекуррентной формуле:
(5)
Поэтому упругое тело, поднятое на высоту h, начинает своё движение в момент времени t1 = 0. Следующая фаза падения наступает в момент времениt2 и т. д.
Зададим функцию Хевисайда, которая будет выделять на временной оси фазу падения, следующим образом:
, , (6)
(7)
Функция (7) выделяет участки падения упругого тела на оси времени в виде единичных прямоугольных импульсов.
Динамику падения упругого тела на каждом участке n (x принадлежит отрезку [tn, (tn+vkn-1)]) можно получить, дважды интегрируя (1) с учетом начальных условий (2). В результате решения задачи Коши для (1) получим:
(8)
Уравнение (8) может описывать как фазу ФПА () так и ФПО ().
Таким образом, на всех участках динамика падения упругого тела будет описываться уравнением
(9)
Зададим и рекуррентную формулу, позволяющую вычислять начальные моменты фазы подъема упругого тела.
(10)
Здесь переменная x принадлежит интервалу: .
По-прежнему возьмём уравнение (1) и начальные условия (3). Аналогично тому, как это было сделано при описании фазы падения упругого тела, запишем для фазы ФПО функцию Хевисайда
, (11)
Начальная скорость определяется так
Уравнение, описывающее динамику фазы подъёма посредством функции Хевисайда на любом из участков, запишем в виде суммы:
Общая картина движения упругого тела представлена на рис. 1.
Вычислим начальные условия ФПО (причем должно выполняться ):
Вычислим начальные условия ФПА:
Зададим функцию Хевисайда для этой фазы:
Функция FR(x) выделяет участки падения упругого тела на оси времени в виде единичных прямоугольных импульсов.
Задаваемые нелинейные ограничения можно записать в Maple в виде процедуры, что позволяет компактно представить алгоритм движения объекта.
Процедура
kor2:=proc(f,F,x0,d,xk)
local n,r,Z,N; Z:=777:N:=floor((xk-x0)/d):
for n from 1 to N do
r:=fsolve(f=F,x=x0+d*(n-1)..x0+d*n):
if type(r, realcons)=true then Z:=r: break fi:
od: RETURN(Z)
end:
Фазы не могут меняться местами. В зависимости от н.у. ФПО может свернуться в нулевой отрезок. Далее будет идти ФПА:.
(начало n-й ФПА).
Отметим, что все выше сказанное можно представить в виде имитационной модели в системе компьютерной математики MATLAB & Simulink.
На рис. 2 дана модель движения упругого тела в СКМ MATLAB.
Преимущество такой модели заключается в том, что в интерактивном режиме можно изменять параметры движения объекта и проводить качественный его анализ. Причем можно менять не только параметры, но и блоки, задающие ограничения и внешние возмущения.
Модель может быть с успехом использована в формате цифровых технологий в образовании [3], например, по таким специальностям как «Робототехника» и другие при исследовании систем посадки объекта на поверхность Земли или других небесных тел. Подобные модели могут найти также применение в автомобилестроении при исследовании динамики подвески колес.
