Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Важной частью многих наноэлектронных и наноэлектромеханических устройств терагерцового диапазона частот являются нанополосковые и нанотрубные линии передачи, связывающие устройство с источником сигнала и нагрузкой. Для расчета их электрических и волновых характеристик недостаточно методов, успешно применяемых в классической электронике СВЧ. Во-первых, необходимо учитывать, что в таких линиях передачи распространяются не чисто электромагнитные волны, а связанные между собой электромагнитные волны и волны зарядовой плотности — поверхностные плазмон-поляритоны. Во-вторых, при поперечных размерах нанолент и нанотрубок порядка нескольких десятков нанометров заметную роль начинают играть квантово-размерные эффекты, которые приводят к появлению квантов электропроводности, индуктивности и емкости.
Квант удельной электропроводности [1]:
, (1)
где — элементарный заряд; — постоянная Планка.
Выражение (1) легко получить даже из классической теории электропроводности металлов, согласно которой удельная электропроводность (в данном случае двумерная):
,
где — вклад в двумерную концентрацию одного электрона в наноленте шириной и длиной ; — средняя длина свободного пробега электрона (в режиме баллистического транспорта ); — эффективная масса электрона, — средняя скорость движения электрона, равная его скорости Ферми ().
Полагая, что в случае одного канала электропроводности на ширине наноленты укладывается одна полуволна де Бройля для электрона ( — единственное квантовое допущение, из приведенных соотношений получаем (1):
. (2)
Также поясним физическую природу выражения (2). Сила тока, создаваемого при движении одного электрона в одном канале электропроводности, равна , где — падение напряжения, равное работе по перемещению единичного заряда по соответствующему участку цепи.
Эта работа, в свою очередь, равна приращению средней энергии электронов, приходящейся на единицу заряда, т. е. изменению химического потенциала системы . Здесь 25,8128 кОм — сопротивление фон Клитцинга — сопротивление двумерного электронного газа, приходящееся на один канал электропроводности.
Кинетическая энергия каждого электрона возрастает в среднем на величину . Число электронов, участвующих в переносе заряда, можно найти, поделив на расстояние между подуровнями энергии в зоне проводимости , где — приведенная постоянная Планка. Тогда полное приращение кинетической энергии двумерного электронного газа при протекании электрического тока будет равно:
,
что аналогично по своей структуре формуле для энергии магнитного поля в классической электродинамике, если под выражением в скобках индуктивность проводника. Поделив это выражение на длину проводника, получаем формулу (2) для кванта погонной индуктивности. Подчеркнем, что физическая природа этой индуктивности (называемой также кинетической индуктивностью) не магнитная, а квантовая:
. (3)
Данное выражение вытекает из того, что переход электрона в зоне проводимости с одного подуровня энергии на другой эквивалентен заряду некоторого конденсатора до энергии где – емкость такого конденсатора. Во избежание недоразумений отметим, что в цитируемой работе [2] вместо (3) приводится выражение . Это связано с тем, что там учтены спиновое и долинное вырождения энергетических состояний электронов в графене и углеродных нанотрубках [3]. Мы здесь приводим выражение для кванта погонной емкости без учета этого обстоятельства, не привязываясь к конкретному материалу и принимая во внимание только один канал электропроводности, соответствующий транспорту лишь одного электрона.
Пространственное квантование энергетических состояний электронов в наноленте состоит в том, что на ее ширине должно укладываться целое число полуволн де Бройля для электронов, что определяет общее число квантовых каналов для их транспорта в наноленте:
, (4)
где и — спиновое и долинное вырождения электронных состояний в материале нанопроводника соответственно; — волновое число Ферми.
В случае нанотрубки на длине окружности ее поперечного сечения должно укладываться целое число дебройлевских волн, откуда число квантовых каналов электропроводности в нанотрубке диаметром получается равным
. (5)
Разумеется, что значения и не произвольные, а определяются типом края наноленты и индексами хиральности нанотрубки. Кроме того, эти нанопроводники должны обладать металлическими свойствами.
С учетом выражений (1)-(5) погонные значения квантовых электрических параметров наноленты и нанотрубки будут находиться в виде
(6)
(7)
. (8)
Появление коэффициента «2» в выражениях (6)—(8) связано с тем обстоятельством, что здесь имеется в виду термическая генерация электронов и дырок, при которой ,
где двумерная концентрация свободных носителей заряда:
. (9)
Здесь в выражении (9) — постоянная Больцмана; — абсолютная температура; — приведенная постоянная Планка.
Рассмотрим для определенности два типа наномасштабных линий передачи (рисунок, а, б): несимметричную нанополосковую линию передачи на графене и двухпроводную линию на углеродных нанотрубках. Будем считать, что графеновая нанолента имеет края типа «зигзаг», а ее ширина = 13 нм, что соответствует 30 гексагонам из атомов углерода и 29 «перемычкам» между ними. Между нанолентой и широкой металлической пластиной находится диэлектрическая подложка из карбида кремния (SiC) с относительной диэлектрической проницаемостью = 9,66. Углеродные нанотрубки имеют торцы типа «кресло» и хиральность (30, 30), что соответствует их диаметру = 4,1 нм. Указанные нанолента и наотрубки заведомо обладают металлическими свойствами, т. е. являются хорошими проводниками и могут быть использованы в линиях передачи.
В таблице представлены результаты расчета погонной индуктивности , погонной емкости и волнового сопротивления исследуемых линий передачи (без учета их квантовых составляющих) по формулам классической электродинамики, взятым из [4, 5]. Там же содержатся результаты расчета числа квантовых каналов электропроводности в этих линиях и погонных значений сопротивления , индуктивности и емкости по формулам (6)–(8), учитывающим квантово-размерные эффекты в соответствующих нанопроводниках.
Из приведенных результатов видно, что и , поэтому для расчета волнового сопротивления рассматриваемых здесь линий передачи приняты следующие значения погонной индуктивности и погонной емкости: и . Здесь учтено, что при последовательном соединении индуктивности складываются, а у емкостей складываются их обратные величины.
Результаты расчета производились в соответствии с эквивалентными схемами (рисунок, в, г) и также представлены в таблице.
Характеристики исследуемых наномасштабных линий передачи
| Параметр | Несимметричная нанополосковая линия | Двухпроводная линия на углеродных нанотрубках |
| W, нм | 13 | – |
| D, нм | – | 41 |
| h, мкм | 1,0 | – |
| d, нм | – | 4,1 |
| L0кл, Гн/мкм | 1,28×10–12 | 1,18×10–12 |
| C0кл, Ф/мкм | 4,61×10–18 | 9,45×10–18 |
| Z0кл, Ом | 167 | 125 |
| M(EF) | 10 | 5 |
| R0кв, Ом/мкм | 99,3×103 | 201×103 |
| L0кв, Гн/мкм | 8,10×10–9 | 1,62×10–8 |
| C0кв, Ф/мкм | 4,82×10–15 | 2,41×10–15 |
| Z0, кОм | 41,9 | 41,4 |
Анализ полученных результатов показывает, что даже в баллистическом режиме транспорта свободных носителей заряда в наномасштбных проводниках вследствие квантово-размерных эффектов в них имеет место квантовое сопротивление. От обычного активного сопротивления, обусловленного рассеянием носителей заряда на фононах, оно отличается тем, что не вызывает нагрев проводника. Кроме того, появляются также квантовая индуктивность и квантовая емкость, которые могут превосходить их классические аналоги в линии передачи на два-три порядка. Таким образом, при расчете электрических и волновых характеристик наномасштабных линий передачи необходимо учитывать эффекты размерного квантования, обусловленные их малыми поперечными размерами.
