Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Необходимым и достаточным условием обратимости любого сложного процесса является его равновесность. Обратимый процесс представляет собой последовательность равновесных состояний. Если в системе имеются градиенты каких-либо величин, описывающих ее состояние, то в ней могут протекать только необратимые процессы. Типичным примером являются явления переноса: диффузия, вязкость, теплопроводность, электропроводность и др. В них соответственно имеют место перенос массы, импульса, количества теплоты, электрического заряда [1] и других физических величин. При этом столкновения частиц — переносчиков указанных величин – приводят к рассеянию (диссипации) энергии и, в конечном счете, к повышению энтропии в замкнутой системе.
Возникает вопрос: а что, если перенос осуществляется в баллистическом режиме, т. е. на расстояние меньшее, чем средняя длина свободного пробега частиц? Тогда диссипация энергии просто не успевает произойти.
В макроскопических масштабах мы с такой ситуацией не сталкиваемся. Например, средняя длина свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях составляет около м. Если же мы возьмем графеновую наноленту с краями типа «зигзаг» (заведомо обладающую металлическими свойствами) шириной менее 100 нм и длиной, не превышающей 1 мкм (длина баллистичности в графене), то обнаружим, что вышеуказанные явления переноса для двумерного электронного газа в этой наноленте приобретут новые, не встречающиеся в макромасштабах, свойства.
Казалось бы, при наличии градиента плотности, скорости, температуры или потенциала электрического поля электроны пройдут без столкновений с кристаллической решеткой и, уж тем более, друг с другом весь образец, не встречая никакого сопротивления. Однако тут в дело вступают процессы размерного квантования. На ширине наноленты должно укладываться целое число полуволн де Бройля для электрона [1], так как она представляет собой одномерную (по ширине) потенциальную яму, т. е. , где — волновое число Ферми. В названных явлениях переноса это приводит к квантованию соответствующих кинетических коэффициентов [2].
Рассмотрим поставленную проблему более детально.
Диффузия. В случае диффузии электронов (дырок) в наноленте длиной , не превышающей длины баллистичности, коэффициент двумерной диффузии
,
где — соответственно скорость, энергия и импульс Ферми; — постоянная Больцмана; — постоянная Планка; — ее приведенное к значение; — абсолютная температура; — двумерная концентрация собственных носителей заряда; — их число в образце.
В расчете на 1 электрон (дырку) получаем квант квант диффузии
. (1)
Вязкость. Выражение для кванта вязкости электронного (дырочного) газа в наноленте легко получить, умножая (1) на плотность носителей заряда (здесь — эффективная масса носителя):
. (2)
Теплопроводность. Аналогично, выражение для кванта теплопроводности в рассматриваемой наноленте может быть получено из (2) путем умножения на удельную теплоемкость электронного (дырочного) газа , где – число степеней свободы частиц в таком двумерном газе:
. (3)
Заметим, что квант фононной теплопроводности в баллистическом режиме транспорта фононов в нанолентах находится в виде [3–5]:
,
т. е. его величина примерно в три раза больше.
Электропроводность. Как показано Р. Ландауэром [6], в случае квантового транспорта носителей заряда в двумерном электронном газе, каждый из них дает вклад в двумерную удельную электропроводность (квант электропроводности):
. (4)
Он обратен по величине сопротивлению фон Клитцинга — сопротивлению одного квантового канала одномерного движения электронов. Квантовая теория явлений переноса [2] дает такой же результат.
Поскольку удельную электропроводность можно выразить через концентрацию носителей заряда и их подвижность : , то, приравнивая это выражение правой части формулы (4), получаем , откуда, в соответствии с (1) приходим к хорошо известному соотношению Эйнштейна:
теперь уже для двумерного нанопроводника.
С учетом спинового и долинного вырождений электронных состояний в наноленте конечной ширины число каналов квантового транспорта носителей заряда
. (5)
В случае нанотрубки на длине окружности ее поперечного сечения должно укладываться целое число волн де Бройля для электрона. Аналогично рассуждая, легко получить выражение для числа квантовых каналов транспорта носителей заряда в нанотрубках в виде
. (6)
Волновое число Ферми в формулах (5), (6) можно выразить через концентрацию свободных носителей заряда: . При термическом возбуждении в графене это будут в равной концентрации электроны и дырки. Концентрацию и тех, и других можно вычислить по формуле [7]:
.
Тогда
и число каналов электропроводности в наноленте можно найти по формуле
. (7)
Для нанотрубки
. (8)
Конечно, конкретные значения и зависят от типа края наноленты и хиральности нанотрубки. Поскольку в случае явлений переноса в двумерном электронном газе нас интересуют металлические наноленты и нанотрубки, то края графеновых нанолент должны быть типа «зигзаг», а углеродные нанотрубки должны быть типа «кресло». Тогда для нанотрубки типа () получаем диаметр [8]:
,
где – длина межатомной связи (в случае углеродной нанотрубки ).
Наряду с выражениями (1)–(4), формулу (7) нужно учитывать при расчетах плотностей потоков переносимой физической величины в конкретных явлениях переноса в нанолентах, а формулу (8) — в нанотрубках.
Во всех описанных явлениях мы имеем дело с квантовыми явлениями переноса без диссипации энергии. Поскольку волны де Бройля электронов и дырок имеют стохастическую природу, то явления переноса в нанопроводниках и изготовленных из них линиях передачи являются необратимыми. Если же длина нанопроводников не превышает средней длины свободного пробега носителей заряда, то они, оставаясь необратимыми, являются еще и недиссипативными. Кроме того, при поперечных размерах нанопроводников менее 100 нм заметным образом проявляется квантование кинетических коэффициентов, описывающих соответствующие явления переноса.
