Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
В последние годы интерес научного сообщества направлен на исследование многослойного характера реальных систем, а также структурной и динамической организации графов, составленных из отдельных слоев. Сложные системы включают в себя многочисленные подсистемы и соединительные слои между ними. Во многих случаях взаимозависимые компоненты взаимодействуют самыми разными путями.
Мы рассматриваем краевую задачу, которая описывает процесс формирование двумерных пространственно-временных структур в симметричных диблок-сополимерах, ограниченных единичным кубом. Эволюция одной компоненты бинарной смеси моделируется двумерным конвективным уравнением Кана — Хиллиарда [1] с динамическими граничными условиями с обратной связью. Эта модель описывает распределение концентрации одной из компонент в бинарном расплаве после охлаждения поверхности. Мы полагаем, что скорости образования зародышей кристаллитов по сторонам квадрата являются нелинейными функциями концентрации и температуры, что соответствует имеющимся экспериментальным данным [2]. Частота зародышеобразования может быть аппроксимирована параболической функцией с отрицательной второй производной по температуре кристаллизации [2, Fig. 60].
Мы рассматриваем граничные условия в виде
(1)
(2)
где — нелинейные функции.
Уравнение Кана — Хиллиарда может быть линеаризовано в окрестности неупорядоченной фазы , и решение задачи может быть найдено в виде
(3)
гдеe и — неизвестные функции, и — параметры задачи. Она может быть сведена к разностному уравнению
(4)
для функции , и такому же уравнению для функции , но на другом множестве . Решениями данных уравнений являются асимптотически периодические кусочно-постоянные импульсы [3]. Асимптотическое решение является суммой этих импульсов.
Рассмотрим бинарную смесь, расположенную внутри квадрата стороной . Положим, что на границе смесь переохлаждена до температуры , где — температура поверхностного распада. Мы рассматриваем объемную смесь полимеров, где в неупорядоченном состоянии вначале и — одна из компонент бинарной смеси.
Конвективное уравнение Кана — Хиллиарда имеет вид [1]
(5)
Начальное условие имеет вид
(6)
В настоящей работе рассматривается обобщенное граничное условие
(7)
где — нелинейная функция с обратной связью.
Мы ограничимся изучением конвективного уравнения Кана-Хиллиарда в ограниченной области . Для простоты положим — куб со стороной . На каждой поверхности в прострастве имеют место динамические граничные условия с дополнительными классическими стационарными граничными условиями
(8)
на , где — данный функционал.
Определим функцию параметра порядка , где цепь субэлементов ковалентно связана с цепью и ; — безразмерная скорость конвекции. — параметр Флори — Хиггинса, — критическое значение фазового распада. При в окрестности неупорядоченной фазы наблюдаются синусоидальные флуктуации. При флуктуации параметра порядка монотонны.
Вблизи среднего значения (при ), линеаризованное уравнение Кана — Хиллиарда
(9)
имеет решение
(10)
при . Тогда мы получаем два обычных разностных уравнения:
(11)
(12)
с , и .
Положим . По определению, , где — параметр Флори — Хиггинса, который характеризует взаимодействие между атомами в полимерных смесях. , где — критический параметр фазового расслоения неупорядоченной фазы полимерной смеси на две упорядоченные Если , имеются монотонные распределения концентраций компонент бинарной смеси. В этом случае доминируют поверхностные возмущения и можно говорить о поверхностно-индуцированном упорядочении в объеме расплава при , где — критическая температура фазового расслоения на две упорядоченные фазы.
Для нахождения точного решения положим . Тогда функция является константой вдоль характеристики , функция — вдоль . Интегрируя уравнения (11) и (12) от точек до вдоль характеристик и , получим
(13)
где и . Ограничимся изучением случая . Тогда где , и при для всех точек . Далее, интегрируя (11) от до , получаем
(14)
Мы используем двойные граничные условия Неймана. Из разностного уравнения следует функциональное
(15)
Его решение
(16)
где . Множество , — открытый интервал. Рассматриваем только класс унимодальных отображений [3], с одной особой точкой.
Аналогично получаем разностное уравнение для
(17)
где . Решение уравнения (17) может быть найдено пошаговой итерацией начальной функции на , . Обычно предельное решение является кусочно-постоянной апериодической функцией с ограниченным, счетным или несчетным числом точек разрыва на периоде. Если конечно, имеем дело с решением релаксационного типа. Если счетно, имеем предельное распределение пре-турбулентного типа. Если несчетно — турбулентного (рис. 1).
Здесь почти для всех точек исключая набор точек нулевой меры Лебега, где набор фиксированных точек отображения [3]. Подвижность атомов и скорость конвекции являются параметрами бифуркации. Подвижность может быть монотонной функцией безразмерной температуры . Особый случай наблюдается при . Если смесь охлаждается на плоских стенах, на поверхности появляются осциллирующие структуры с немонотонными амплитудами. Эти волноподобные структуры распространяются в объем смеси с экспоненциально затухающими амплитудами. При , пространственно-темпоральные структуры стремятся к
(18)
где и . Здесь и , где — притягивающие фиксированные точки отображений и . На рис. 2 представлены результаты компьютерного моделирования предельных распределений концентраций.
Предельные распределения пре-турбулентного типа имеют утолщенные линии. Для предельных распределений турбулентного типа имеются Канторовы множества линий разрыва волновых фронтов распространения концентрации по объему. Результатом является направленное упорядочение, например в направлениях и мы имеем решения релаксационного типа, или один из следующих случаев: релаксация пре-турбулентный тип, релаксация турбулентный тип, претурбулентный турбулентный тип и т. д.
Представлены теоретические результаты, описывающие различные сценарии поверхностно-индуцированного упорядочения в ограниченной двумерной бинарной смеси. Математически сконструирован новый тип смешанной разнонаправленной турбулентности. Предельные распределения в квадратной области с динамическим нелинейным зарождением кристаллитов на сторонах квадрата являются осциллирующими кусочно-постоянными распределениями концентрации в бинарной смеси с конечным, четным или несчетным числом фронтов разрыва на периоде. Число осцилляций в каждом направлении может различаться. Таким образом, наблюдается разное осцилляционное поведение предельных распределений концентрации в разных направлениях сторон квадрата.
