Главная Препринты Влияние теплофизической неоднородности нелинейно деформируемого материала на распределение температур и напряжений в двусвязной пластинке переменной толщины

Влияние теплофизической неоднородности нелинейно деформируемого материала на распределение температур и напряжений в двусвязной пластинке переменной толщины

Язык труда и переводы:
УДК:
539.3
Дата публикации:
27 ноября 2022, 15:17
Категория:
Математическое моделирование физических процессов и технических систем
Авторы
Фомин Владимир Геннадиевич
Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина
Аннотация:
Исследована нелинейная задача теплопроводности и термоупругости для двухсвязной пластинки переменной толщины. На границах реализованы смешанные граничные условия. Решение нелинейной задачи термоупругости рассмотрена с позиции теории малых упруго-пластических деформаций. В качестве метода решения применен метод конечных элементов в сочетании с методом последовательных приближений. Выполнено сравнение результатов в линейной и нелинейной постановках задачи для различных законов изменения толщины.
Ключевые слова:
нелинейная задача теплопроводности, нелинейная задача термоупругости, пластинка переменной толщины, метод конечных элементов
Основной текст труда

Нахождение поля температур является начальным этапом решения задачи термоупругости. Для двухсвязной области рассматривается плоская задача теплопроводности. Внутренний контур представляет собой окружность радиуса a_{1} , внешний — квадрат со стороной 2a_{2} (см. рисунок). Толщина пластинки переменная h=h(x,y) и симметрична относительно срединной плоскости. На внутреннем контуре поддерживается постоянная температура T_{1} на внешнем — постоянная  температура  T_{2} ,  а  на  двух других выполнены условия теплоизоляции:

{\frac {dT}{dn}}=0

(где  n — нормаль к боковой поверхности). Через основания пластинки происходит теплообмен с внешней средой. Температура окружающей среды T_{0} ; H — коэффициент теплообмена. Предполагается, что температура постоянна по толщине и теплофизические свойства нелинейно-деформируемого материала имеют зависимость от температуры.

Двухсвязная область

Исходя из перечисленных условий, уравнение теплопроводности в прямоугольной системе координат  будет  иметь вид [1]

{\frac {\partial }{\partial X}}\left[h\lambda {\frac {\partial T}{\partial X}}\right]+{\frac {\partial }{\partial Y}}\left[h\lambda {\frac {\partial T}{\partial Y}}\right]-2H(T-T_{0})\left[1+{\frac {1}{4}}\left({\frac {\partial h}{\partial X}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {\partial h}{\partial Y}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}=0.   (1)

Здесь коэффициент теплопроводности \lambda =\lambda (T)=\lambda _{0}(1+\varepsilon T) ; \lambda _{0}  — коэффициент теплопроводности при Т = 0 °С (272 K); \varepsilon — температурный коэффициент.

Интегрирование уравнения (1) эквивалентно нахождению экстремума функционала [2]:

J={\frac {1}{2}}\iint \limits _{S_{\text{ср}}}h\left\{\lambda \left[\left({\frac {\partial T}{\partial X}}\right)^{2}\left({\frac {\partial T}{\partial Y}}\right)^{2}\right]\right\}dXdY+{\frac {1}{2}}\iint \limits _{S_{\text{осн}}}2H(T-T_{0})^{2}dXdY,     (2)

где S_{\text{ср}} и  S_{\text{осн}} — площади срединной плоскости и поверхности основания соответственно.

Для решения нелинейного уравнения (1), а следовательно, и  функционала (2) использовался метод последовательных приближений [3]. На начальном этапе итерационного подхода задача решалась в линейной постановке (\varepsilon =0) , далее с учетом этого температурного коэффициента \varepsilon . Когда расхождение между двумя приближениями не превышало заранее заданной величины  процента погрешности (в расчетах эта величина принималась равной 1 %) итерационный процесс заканчивался. Для достижения такой точности было достаточно четырех итераций.

Для нахождения минимума функционала (2) срединная плоскость пластинки разбивалась на треугольные элементы, причем, чем ближе к контурам, тем мельче брались элементы. Функция температур в пределах каждого элемента аппроксимировалась линейным сплайном     

T=\alpha _{1}+\alpha _{2}x+\alpha _{3}y.                                                           (3)

Решение нелинейной задачи термоупругости рассматривалось с позиции теории малых упруго-пластических деформаций [4].  Связь между напряжениями и деформациями для случая плоского напряженного состояния задается в виде

\sigma _{x}-\sigma _{0}={\frac {2\sigma _{i}}{3\varepsilon _{i}}}(\varepsilon _{x}-\varepsilon _{0}) , \sigma _{y}-\sigma _{0}={\frac {2\sigma _{i}}{3\varepsilon _{i}}}(\varepsilon _{y}-\varepsilon _{0}) , \tau _{xy}={\frac {2\sigma _{i}}{3\varepsilon _{i}}}\gamma _{xy}.                              (4)

Здесь \sigma _{0} , \varepsilon _{0} — средние напряжение и деформация.

\sigma _{0}={\frac {1}{3}}(\sigma _{x}+\sigma _{y}) , \varepsilon _{0}={\frac {1}{3}}(\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z}) , \varepsilon _{0}={\frac {1-2\mu }{E}}\sigma _{0}+\alpha T,     (5)

где  \mu — коэффициент Пуассона;  E — модуль Юнга;  \alpha — коэффициент линейного расширения.

Связь между интенсивностями напряжений  \sigma _{i} и деформаций \varepsilon _{i} задается в виде

\sigma _{i}=\sum _{k}A_{k}(T)\varepsilon _{i}^{k},

где  A_{1}(T)=A_{1} , A_{k}(T)=A_{k0}+A_{k1}T+A_{k2}T^{2},k\neq 1.  

Данная формула позволяет описывать диаграммы деформирования материала для  различных температур.

С помощью метода переменных параметров упругости исходная нелинейная задача термоупругости сводится к последовательной серии линейных задач с переменными модулем Юнга E и  коэффициентом  Пуассона  \mu .

При решении линейной задачи в каждом приближении использовался метод конечных элементов, где минимизировался функционал потенциальной энергии деформации [3]

U=\sum _{t=1}^{N}U^{(t)},         

где  N — число элементов.

Вид функционала для каждого элемента следующий:

U^{(t)}={\frac {1}{2}}h_{t}\iint _{Sc\mathrm {p} }\left[{\frac {\mathrm {E} }{1-\mu ^{2}}}\left({\frac {\partial U}{\partial X}}+\mu {\frac {\partial V}{\partial Y}}-(1+\mu )\alpha \mathrm {T} \right)\left({\frac {\partial U}{\partial X}}-\alpha \mathrm {T} \right)+\right.

+{\frac {E}{1-\mu ^{2}}}\left({\frac {\partial V}{\partial Y}}+\mu {\frac {\partial U}{\partial X}}-(1+\mu )\alpha T\right)\left({\frac {\partial V}{\partial Y}}-\alpha T\right)+

\left.+{\frac {E}{2(1+\mu )}}\left({\frac {\partial V}{\partial X}}+{\frac {\partial U}{\partial Y}}\right)^{2}\right]dXdY;

h_{t} — средняя толщина  t -го элемента,

\alpha =\alpha (T)=\alpha _{0}(1+\gamma T) , E=E(T)=E_{0}(1-\beta T^{2}),

где  \alpha _{0} ,  E_{0} — коэффициент  линейного расширения  и модуль  Юнга, соответствующие температуре  0 °C  (273 К);   \gamma ,\beta — постоянные коэффициенты.

Итерационный процесс (по методу переменных параметров упругости) заканчивался, когда максимальное расхождение между двумя последующими приближениями не превышало 1 %.

В качестве примера была рассмотрена пластинка из материала 1X18H9T с характеристиками из  [5].                   

 Тепловые  условия T1 = 50 °C (323 K), T2 = 50 °C (323 K); T0 = 0 °C (273 K).

Толщина пластинки изменялась по закону

h=h(x,y)=K_{1}\left(1-K_{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\left(1+K_{3}\cos {(4arctg{\frac {y}{x}})}\right);

  K_{1}={\frac {h_{2}a_{1}-h_{1}a_{2}}{(a_{1}-a_{2})(1+K_{3})}};   K_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}}{h_{2}a_{1}-h_{1}a_{2}}},

h_{1},h_{2}   —  толщины  на внутреннем и внешнем контурах  на оси x .

Геометрическая зависимость между контурами определялась соотношением

{\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {2}{9}}.

Рассматривались три варианта соотношения параметров толщины пластинки.

Первый вариант:

{\frac {h_{1}}{h_{2}}}={\frac {1}{2}},   K_{3}=0,2;   {\frac {h_{2}}{a_{2}}}={\frac {1,2}{9}}.     

Второй вариант — пластинка постоянной толщины:

h_{1}=h_{2};   K_{3}=0;    {\frac {h_{2}}{a_{2}}}={\frac {1}{9}}.

Третий вариант:

{\frac {h_{1}}{h_{2}}}=2; K_{3}=0,2;   {\frac {h_{2}}{a_{2}}}={\frac {1,2}{18}}.  

Максимальное расхождение в температурных значениях между 1-м и 2-м вариантами соотношения толщины пластинки составляет 5 % и наблюдается на оси y . Наибольшее различие между 2-м и 3-м вариантами соотношения толщины пластинки достигает 29 % вблизи  теплоизолированного участка.

Наибольшее расхождение напряжений \sigma _{x} вдоль оси y между 1-м и 2-м вариантами соотношения толщины пластинки составляет 25 % на внешнем контуре, между 2-м  и 3-м вариантами соотношения толщины пластинки различие достигает 52 % на внутреннем контуре.

Литература
  1. Фомин В.Г. Математическая модель двусвязной пластинки учитывающая переменную толщину при определении температур и напряжений. Техническое регулирование в транспортном строительстве, 2020, № 5 (44), с. 421–425.
  2. Фомин В.Г. Влияние неоднородных свойств материала на распределение температур и напряжений в двусвязной пластинке переменной толщины. Необратимые процессы в природе и технике: тр. X Всерос. конф.: в 3 ч. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019, ч. 3, с 30–33.
  3. Фомин В.Г. Математическое моделирование нелинейной задачи теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины. Техническое регулирование в транспортном строительстве, 2019, № 5 (38), с. 264–267.
  4. Фомин В.Г. Математическая модель двусвязной пластинки переменной толщины, учитывающая влияние неоднородных свойств материала на распределение температур и напряжений. Техническое регулирование в транспортном строительстве, 2018, № 6 (32), с. 91–95.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.