Расчет динамики самодвижущихся частиц при наличии мультистабильности состояний

Коллективное движение самодвижущихся (активных) частиц с образованием различных пространственных конфигураций широко распространенное явление в природе, к которому можно отнести формирование кластеров мигрирующих клеток, роев насекомых, косяков рыб, стай птиц, стад млекопитающих и даже движение групп людей [1–3]. Активные частицы могут демонстрировать сложные динамические режимы, которые недоступны для классических неактивных частиц. Механизмы формирование таких режимов могут быть различными, но даже достаточно простые модели могут демонстрировать сложное коллективное поведение.

В настоящей работе рассмотрена простая модель, учитывающая два механизма взаимодействия активных частиц: каждая «частица» системы стремиться двигаться в том же направлении, что и ее окружение и старается не отдаляться от остальных, что может быть записано при помощи двух следующих уравнений [4, 5]:

Схематичное изображение двух взаимодействующих частиц представлено на рис. 1.

На рис. 1 приняты следующие обозначения:   эволюция координаты и угла во времени соответственно;  — коэфффициенты выравнивания и шума;  — процесс Виннера;  — единичный вектор (характеризует мгновенную скорость), угол между направлениями движения, расстояние между двумя частицами и угол между  и соответсвенно. Схематичное изображение двух взаимодействующих частиц представлено на рис. 1.

При помощи компьютерного моделирования систематически изучены особенности движения самодвижущихся активных частиц, описанных в [4, 5]. Данная система демонстрирует три устойчивых состояния:

• schooling — все частицы движутся преимущественно в одном направлении, которое медленно поворачивается в пространстве случайным образом;
• milling — все частицы выстраиваются в замкнутую цепочку и движутся по кругу, при этом центр масс системы практически неподвижен;
• swarming — частицы формируют компактный кластер, но внутри него не образуют никаких упорядоченных  структур, сам кластер движется броуновским образом.

Примеры соответствующих типов динамики показаны на рис. 2.

Фазовые диаграммы данных систем были лишь приблизительно оценены, кроме того, не учитывалось существование областей с бифуркационным (мультистабильным) поведением. Динамику системы можно анализировать с помощью параметров M и P, характеризующие вращательный момент и поляризацию соответственно:где параметры и проиллюстрированы на рис. 1.

На рис. 3 представлена функция плотности вероятности возникновения состояния Milling в зависимости от параметров системы.

На рис. 3. цвет показывает вероятность нахождения системы при различных параметрах в состоянии Milling: синий цвет означает нулевую вероятность, т. е. Miling не наблюдается, красным цветом показана область с наибольшей вероятностью системы в состоянии Miling (равна 1), остальные цвета — промежуточные вероятности.

В результате исследований, построена фазовая диаграмма исследуемой системы, установлены границы областей. Выявлены области мультистабильности, где при одинаковых параметрах системы в зависимости от начальных условий наблюдаются разные режимы динамики. Рассчитаны вероятности фрормирования различных динамических режимов в данных областях.