Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Необходимость учета контактного взаимодействия двух или нескольких деформируемых твердых тел появляется во многих задачах математического моделирования различных конструкций и процессов[1, 2]. Например, моделируя работу тепловыделительного элемента ядерного реактора, мы должны учесть взаимодействие топливных таблеток между собой [3].
Для решения статической контактной задачи используются различные численные методы, например, метод множителей Лагранжа [4, 5], метод штрафов [5], метод Шварца [6, 7] и другие [8, 9].
В работе рассмотрена контактная задача в двумерной плоско-деформированной постановке. В качестве основного численного метода выбран метод конечных элементов на треугольных элементах[10]. Условий контактного взаимодействия два: непроникание тел друг в друга и равное силовое воздействие тел на границе контактна. Для учета этих условий выбран метод множителей Лагранжа в различных вариациях. В отличие от часто используемого подхода активного-пассивного тел (master-slave)\cite{Wriggers}, в качестве контактной границы выбрана кривая, находящаяся между контактирующими телами. Такой выбор позволяет считать тела равнозначными, а также такая граница может обладать любой необходимой степенью гладкости.
Рассмотрим два тела B1 и B2, которые под воздействием неких внешних нагрузок вступают во взаимодействие друг с другом (рис. 1).
Задача теории упругости основывается на трех соотношениях:
1) Соотношения Коши:
где — вектор перемещений в точке тела — компоненты вектора деформаций, а матрица имеет следующий вид:
2) Обобщенный закон Гука:
где — компоненты тензора напряжений, — компоненты тензора упругих коэффициентов, который в двумерном плоско-деформированном случае имеет вид симметричной матрицы 3 ранга.
3) Дифференциальные уравнения равновесия (в отсутствии объемных сил):
Также будем рассматривать граничные условия первого и второго рода. Более подробно описано в [12].
Для решения задачи контактного взаимодействия в двумерной постановке выбран метод конечных элементов на треугольных элементах [10, 11]. Для учета контактных условий использован метод множителей Лагранжа с независимой контактной границей. Более подробно применение метода описано в [12], здесь опишем, как можно модифицировать метод множителей Лагранжа.
При применении метода множителей Лагранжа возникает необходимость учета интеграла следующего вида:
где — функция множителей Лагранжа, имеющая смысл вектора поверхностных контактных сил; — актуальные положения соответствующих сходственных точек тел, , на поверхности контакта, и — исходные положения и перемещения сходственных точек соответственно; — поверхность контакта между телами и .
Дана система из двух брусков, первый брусок помещен на гладкий стол, второй лежит сверху на первом (рис. 3). На систему сверху приложена распределенная нагрузка . Контактная граница имеет вид параболлы и может быть описана следующим параметрическим уравнением:
Рассмотрен метод множителей Лагранжа с различными модификациями и независимой от конечноэлементных сеток в телах контактной границей для решения стационарных задач контактного взаимодействия в двумерной плоско-деформированной постановке без трения. В качестве численного метода для решения уравнений теории упругости выбран метод конечных элементов на треугольных элементах. Независимая контактная граница дает возможность вводить различные виды аппроксимации функции множителей Лагранжа, в работе рассмотрены три из них: кусочно-постоянная, непрерывная кусочно-линейная и кусочно-линейная с разрывами. Проведены тестовые расчеты, полученные результаты показали, что решение можно улучшить с помощью увеличения количества контактных отрезков без перестроения сеток в контактирующих телах. При этом наименьшие искусственные осцилляции и наиболее высокую скорость сходимости решения показал метод с использованием разрывной кусочно-линейной аппроксимации функции множителей Лагранжа. Метод же с использованием непрерывной кусочно-линейной аппроксимации не позволил сгладить осцилляции даже при большом количестве множителей Лагранжа.
