Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Уравнения газовой динамики находят применение при решении широкого спектра задач моделирования — от кровеносной системы до исследования потоков плазмы в астрофизических условиях [1, 2]. Модели течений сжимаемого совершенного невязкого газа можно применять для моделирования высокоскоростных течений, возникающих как при обтекании летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковыми скоростями, так и при заполнении вакуумированных камер в ходе экспериментов, посвященных исследованию термоядерного синтеза.
Среди численных методов исследования таких моделей особо важными являются методы высокого порядка (выше первого), позволяющие эффективно разрешать разрывы, возникающие в течениях газа — ударные волны, контактные разрывы, волны разрежения. Для разработки таких численных схем могут применяться методы, основанные на разрывной аппроксимации решения на сетке, например PPM [3], PPML [4] и RKDG [5], а также использующие характеристическую структуру гиперболической системы уравнений [6].
Работа посвящена алгоритму, объединяющему эти два подхода.
В двумерном приближении система уравнений Эйлера в консервативной форме имеет следующий вид [2]:
где — вектор консервативных перменных; — тензор потоков; — плотность; — проекции вектра скорости на оси cоответственно; — давление; — полная энергия единицы объема.
Система уравнений дополняется уравнением для полной энергии и уравнением состояния, которое для своершенного газа имеет вид , где — удельная внутренняя энергия; — показатель адиабаты.
Будем полагать, что начально-краевая задача для приведенной сисемы уравнений решается в некоторой произвольной области на временном интервале и поставлено начальное условие
Введем в пространственной области треугольную сетку из ячеек .
Для получения уравнений метода воспользуемся подходом разрывного метода Галеркина [5]. Представим приближенное решение системы в видегде — базисные функции; — коэффициент разложения базисной функции на ячейке.
В качестве базиса на каждой ячейке будем использовать ортогональную систему полиномов степени не выше 1.
Подставим в систему уравнений представление решения , умножим на , проинтегрируем полученные равенства по времени и пространству, применим формулу интегирования по частям и получимгде — нормировочный коэффициент.
Последний интеграл по пространству можно преобразовать к видугде Усредненные по времени потоки , будем расчитывать аналогично кусочно-параболическому методу на локальном шаблоне PPML [4].
Воспользуемся тем фактом, что через каждую точку пространства проходят характеристики нескольких семейств, отвечающие разным собственным значениям. Таким образом, в одномерном случае на состояние на границе разностной ячейки будут влиять в общем случае состояния из и ячеек (рис. 1). В двумерном случае для каждой квадратурной точки на грани будем аналогичным образом рассматривать характеристики, идущие по нормали к этой грани. Метод предполагает линейность характеристик на одном временном шаге, что позволяет заменить интегрирование по времени на интегрирование по пространству [6].
Использование квадратурной формулы для вычисления потоков приводит к одномерной задаче поиска приближенного решения задачи Римана. В каждой квадратурной точке на границе в разные моменты времени нужно определить два состояния решения и от волн пришедших слева и справа от границы ячейки соотвественно.
Усредненные по области влияния для каждого значения решения будут вычисляться следующим образом (на данном этапе осуществляется переход к неконсервативным переменным [1, 3]):
В этой работе в качестве состояний слева и справа от границы предлагается взять решения, усредненные по максимальному по модулю собственному значению, обозначаемые как По этим значениям вычисляется усредненный по времени поток с помощью приближенного метода решения задачи Римана, например, метода Роу.
Проведены расчеты для обобщения задачи Сода на двумерную область (рис. 2). В этом случае начальные данные имеют вид:
Задача решена на сетке из 23000 треугольных ячеек, использованы граничные условия отражения. Решение представляет собой круговую ударную волну, распространяющуюся от центра к границам, контактный разрыв, следующий в том же направлении и волну разряжения. С отражением от стенки картина течения становится более сложной, а метод высокого порядка позволяет разрешать неустойчивость Рихтмайера — Мешкова, которая хорошо видна на рис. 3.
Разработан численный алгоритм решения системы уравнений Эйлера, основанный на разрывном методе Галеркина и характеристических свойствах системы. Алгоритм хорошо обобщается на случай неструктурированных сеток, что позволяет его применять к задачам в областях произвольной формы, а также в таких случаях, когда в части области удобно использовать элементы разных типов. Метод протестирован на одномерных и двумерных задачах. Показана высокая способность метода разрешать разрывы, при этом он не всегда требует применения монотонизирующих операций, что существенно снижает его вычислительную стоимость.
