Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Современные методы исследования устойчивости динамических систем могут включать в себя применение теории Косамби — Картана — Черна (теории ККЧ) [1, 2]. Вводимое при этом геометрическое описание динамической системы позволяет определить для нее пять геометрических инвариантов. Второй ККЧ-инвариант (называемый тензором кривизны отклонения) дает оценку устойчивости системы по Якоби. Подход актуален в приложениях, где исследуются детерминированные нелинейные системы, способные демонстрировать хаотическое поведение. Примерами служат система Лоренца (метеорология) и система Рикитаке (моделирование геомагнитного поля) [3–5]. Для каждой из указанных систем получены в явном виде компоненты тензора кривизны отклонения и сформулированы условия устойчивости по Якоби.
Рассматриваются задачи восстановления параметров динамических систем, описываемых в терминах геометрических структур, по некоторой заданной косвенной информации. Входные данные представлены конечным множеством собственных значений тензора кривизны отклонения исследуемой системы, которые могут быть получены при обработке экспериментальных данных. Критерий рассогласования обратной задачи на собственные значения формулируется по результатам сравнения двух собственных спектров: соответствующего текущим параметрам системы и целевого (полученного при обработке результатов измерений). При численном решении реализован оптимизационный подход. Критериальные функции в обратных задачах являются в общем случае непрерывными, многоэкстремальными и не всюду дифференцируемыми. Этим обусловлена актуальность разработки эффективных алгоритмов решения обратных задач с использованием методов глобальной оптимизации.
Вводится система дифференциальных уравнений второго порядка [1, 4, 5]
(1)
где — гладкая функция, определенная в локальной системе координат на открытом связном подмножестве евклидова -мерного пространства ; ; — время. Вариационное уравнение, соответствующее (1), может быть представлено в ковариантной форме: ; здесь — контравариантное векторное поле, определенное на ; — второй ККЧ-инвариант,
; (2)
— локальные коэффициенты нелинейной связности; — локальные коэффициенты связности Бервальда. Собственные значения представленного в (2) тензора двумерной системы могут быть определены из уравнения
.
Рассматривается применение теории ККЧ к системе Лоренца, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений [4]. Параметры , и интерпретируются с физической точки зрения как число Прандтля, нормализованное число Рэлея и геометрический фактор (содержит информацию о геометрии конвективной ячейки) соответственно. Существенно, что система уравнений Лоренца является детерминированной, однако ее решение демонстрирует хаотическое поведение при условиях и .
Подход на основе теории ККЧ реализован также применительно к системе дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы Рикитаке. Модель Рикитаке [5] в ее простейшей версии включает в себя два одинаковых диска динамо, вращающихся без трения вокруг параллельных осей. К обоим динамо приложены пары сил с одинаковыми моментами, компенсирующими омические потери в обмотках и дисках. Для описания системы Рикитаке введены два параметра: — кинематический и — физический.
Сформулирована обратная задача восстановления параметров каждой системы по заданным собственным значениям ее тензора кривизны отклонения. Численное решение регуляризованной обратной задачи получено с использованием новых гибридных алгоритмов глобальной оптимизации. Предложенные алгоритмы интегрируют стохастический алгоритм для сканирования пространства переменных [6] и детерминированные методы локального поиска: метод кривой, заполняющей пространство [7], и метод линеаризации с построением сглаживающих аппроксимаций [8] (соответственно алгоритмы QOM-PCASFC и QOM-PCALMSI).
Исследуется система Лоренца при стандартных значениях параметров [4]: ; ; . Косвенная информация (приближенные собственные значения тензора кривизны отклонения), полученная моделированием системы при стандартных значениях параметров, представляет входные данные для решения обратной задачи: ; (система неустойчива по Якоби). Относительная погрешность данных не превышает 1%. Переменными задачи являются относительные величины , соответствующие параметрам . Критериальная функция определена в виде
,
где — весовой коэффициент и частный критерий, здесь соответствующие -му собственному значению : , ; , ; — параметр регуляризации; .
Используется алгоритм QOM-PCALMSI. Изменение переменных с ростом числа итераций (заключительная фаза локального поиска) показано на рис. 1; соответствующее изменение значений критериальной функции представлено на рис. 2.
Восстановленные значения параметров равны: ; ; .
Система Рикитаке рассматривается при следующих значениях ее параметров [5]: ; ; входная косвенная информация: ; (система неустойчива по Якоби). Относительная погрешность данных не превышает 0,5 %. Переменными являются относительные величины , соответствующие параметрам системы .
Используется алгоритм QOM-PCASFC. Изменение переменных с ростом значений плотности развертки кривой Пеано на интервале показано на рис. 3; соответствующее изменение значений критериальной функции представлено на рис. 4.
Восстановленные значения параметров системы соответственно равны: ; .
Относительная погрешность решения в численных примерах не превышает 2,86 %.
В контексте анализа устойчивости по Якоби рассмотрены геофизические система Лоренца и система Рикитаке. Предложена методика восстановления параметров системы по косвенной информации, представленной собственными значениями ее тензора кривизны отклонения. При решении обратных задач восстановления параметров реализован оптимизационный подход. Применены новые гибридные алгоритмы глобальной оптимизации, интегрирующие стохастический алгоритм сканирования пространства переменных и детерминированные методы локального поиска. Точность полученных приближенных решений согласована с точностью задания входной информации.
