Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Существует ряд актуальных практических задач, требующих применения решений из области теории дифракции. К таким задачам относятся, например, маскировка и обнаружение малозаметных радиолокационных целей, распространение электромагнитных волн в условиях городской застройки и т. п.
С целью увеличения эффективности (точности и быстродействия) солверов применяют эвристические решения [1–4] и гибридные методы, сочетающие в себе численные и эвристические подходы [5].
В основе эвристических подходов лежат решения «эталонных» задач, на основе которых строят более сложные решения. Все эвристические решения нуждаются в верификации — проверке точности при помощи надежного решения, аналитического или (как правило) численного.
К традиционным эвристическим подходам относят: метод геометрической оптики (ГО) [6], метод физической оптики (ФО) [6], геометрическую теорию дифракции (ГТД) [7–9], метод краевых волн (МКВ) [10–12]. Известно, что подход МКВ оказался критически важным при реализации проекта «Стелс». Термин физическая теория дифракции (ФТД) можно применять как для МКВ, так и в расширительном толковании — для всех эвристических методов. Краткое обсуждение особенностей этих методов приведено в [13, 14]. Традиционные эвристические подходы (ГО, ФО, ГТД, МКВ) предлагают эвристические формулы, но не предполагают их дальнейшего уточнения.
Сочетание быстродействия и точности играет ключевую роль, например, при решении обратных задач. Появляющиеся при этом новые возможности оправдывают усилия по повышению точности эвристических подходов.
Недавно разработанный автором метод базовых компонентов (МБК), в отличие от традиционных эвристических подходов, предполагает процесс уточнения («настройки») первичных эвристических формул. При построении первичных эвристических формул применяют решения простейших математически строгих задач дифракции, любые другие проверенные решения (в том числе — приближения традиционных эвристических подходов), а также уже существующие наработки МБК по уточнению аналогичных эвристических формул. Настройку проводят с помощью сравнения первичных эвристических формул с верификационным решением (как правило, численным).
Настроечные формулы могут различаться в зависимости от поставленных задач. Например, для физической интерпретации численного решения можно выбрать настроечные формулы наиболее физически ясного и компактного вида, а для использования в солвере лучше выбрать настроечную формулу, дающую наибольшую точность. Выбор настроечных формул играет в МБК ключевую роль и определяется опытом и интуицией исследователя.
Двухсторонние импедансные граничные условия давно известны в теории дифракции [15–18]. Непрозрачная полуплоскость описана в [19]. В данной работе рассмотрена полупрозрачная полуплоскость, как и в [20, 21].
Применим МБК для получения эвристического решения задачи дифракции на полуплоскости с двухсторонними импедансными граничными условиями. В качестве первичных эвристических формул выберем выражения [3, 4, 20, 21].
Для — поляризации:
(1)
для — поляризации:
(2)
Здесь и — углы точки наблюдения и источника; и — коэффициенты отражения от безграничной плоскости.
Назовем (1) и (2) обобщенными дифракционными коэффициентами (ОДК) [20].
В качестве верификационного решения задачи дифракции на полуплоскости с двухсторонними импедансными граничными условиями используем строгое решение по методу Винера — Хопфа (МВХ) [18, 21]. Будем называть его «решение по МВХ».
Для — поляризации решение по МВХ:
(3)
Для — поляризации решение по МВХ:
(4)
Способы поиска настроечных функций могут отличаться. В работах [20, 21] эвристические формулы для функций полупрозрачности были выбраны с целью получить наиболее физически ясные и компактные выражения.
Двумерные структуры с неидеальными граничными условиями были рассмотрены в ряде статей [22–25]. Эвристическое решение задачи дифракции для импедансного клина строили с помощью подстановки френелевских коэффициентов отражения в формулы работы [26], затем разными способами пытались добиться наилучшего соответствия решения принципу взаимности и, наконец, верифицировали формулы с помощью решения Малюжинца [27].
В работе [28] были получены новые настроечные функции, обеспечивающие очень высокую точность:
(5)
(6)
Здесь , и — параметры, описывающие граничные условия. Внося изменения в аргументы функций и , можно получить выражения (5) и (6) для настроечных функций, расчет по которым дает результаты, близкие к результатам верификационного расчета (3) и (4). В результате настройки получаем эвристические формулы:
(7)
(8)
Здесь углы соответствуют границам «свет — тень» падающего или отраженного поля. Для сравнения (по терминологии МБК — верификации) решения по МВХ с эвристическими формулами (7) и (8) построим отношения
(9)
(10)
Чем ближе (9) и (10) к единице, тем выше точность.
Для того чтобы оценить точность эвристических выражений (7) и (8), применяют формулы количественной оценки точности [28]:
(11)
(12)
Приведем таблицу значений настроечных параметров и , найденных феноменологическим способом путем минимизации интегралов (11) и (12).
X | mTH | mTE | ||||||
φ0 = 160º | φ0 = 90º | φ0 = 20º | ПВ | φ0 = 160º | φ0 = 90º | φ0 = 20º | ПВ | |
10 | 3,1560 | 3,1528 | 3,1555 | 3,1525 | 0,9977 | 0,9997 | 0,9999 | 0,9996 |
150 | 1,1450 | 1,1412 | 1,1423 | 1,1415 | 0,9622 | 0,9371 | 0,9377 | 0,9370 |
300 | 1,0484 | 1,0437 | 1,0443 | 1,0443 | 0,8632 | 0,8334 | 0,8348 | 0,8334 |
500 | 1,0271 | 1,0163 | 1,0169 | 1,0170 | 0,7581 | 0,7221 | 0,7244 | 0,7222 |
1000 | 1,0436 | 1,0036 | 1,0041 | 1,0044 | 0,6092 | 0,5585 | 0,5601 | 0,5591 |
Применяя принцип взаимности к формулам (7) и (8), получим аналитические выражения для и [28]:
(13)
(14)
Здесь . Значения для и (13) и (14) приведены в таблице в столбцах «ПВ».
В данной работе эвристическое решение задаче дифракции на полуплоскости с двусторонними импедансными граничными условиями в форме (7) и (8) получено двумя способами. Отличие состоит в том, как были найдены настроечные параметры и .
Первый способ — численное определение минимумов параметров количественной оценки (11) и (12). Второй способ — аналитическое определение и в виде (13) и (14).
Для заданного вида граничных условий мы получили точные аналитические выражения (7) и (8) с подстановкой (13) и (14), которые можно использовать в практических задачах вместо численного решения. Под термином «точные» мы подразумеваем формулы, математическая строгость которых не доказана. Поскольку верификацию проводили для всей области входных параметров, нет оснований полагать, что их точность отличается от точности строгого решения.
При наличии соответствующих верификационных решений, развитие МБК может происходить в направлениях получения точных эвристических решений, описывающих влияние профиля кромки [3, 4, 29–33], особенностей контура рассеивателя [3, 4, 34–39] и граничных условий [3, 4, 14, 19–21, 28, 40].
Для некоторых задач применение МБК позволяет получить аналитические решения, точность которых соответствует точности строгих аналитических решений.
Автор выражает благодарность С.Е. Банкову за предоставление программ для расчета решения по методу Винера — Хопфа и аналитических формул для коэффициентов отражения для безграничной полуплоскости.
