Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Учет контактного взаимодействия различных функциональных узлов оборудования является важной составляющей оценки напряженно-деформированного состояния большинства конструкций. Для практически важных контактных задач невозможно получить аналитическое решение, и для определения поля перемещений и напряжений используются численные методы, среди которых можно отметить метод декомпозиции области, метод штрафа, различные варианты метода множителей Лагранжа, в частности, mortar-метод [1].
В данной работе приведена постановка квазистационарной мультиконтактной задачи термомеханики и представлен алгоритм ее численного решения с учетом изменения во времени деформаций и напряжений за счет эффекта ползучести. Рассмотрено применение предложенного алгоритма к задаче, моделирующей процессы в участке тепловыделяющего элемента (твэла), включающего до 350 топливных таблеток.
Рассмотрена следующая задача: внутри цилиндрической оболочки расположен топливный столб из поставленных друг на друга одинаковых цилиндрических таблеток, имеющих внутреннее отверстие и фаски на обоих торцах (рис. 1). На рис. 2 показана расчетная область для случая одной таблетки () и фрагмента оболочки (). Данная задача моделирует термомеханические процессы, происходящие в тепловыделяющем элементе. Предположим, что зависимостью температуры от деформации тела можно пренебречь, поэтому задачу теплопроводности будем решать отдельно, а полученное температурное поле использовать при решении механической задачи.
Математическая формулировка квазистационарной задачи механики твердого деформирумого тела для случая, когда объемные силы отсутствуют, включает в себя следующие соотношения для каждого тела , участвующего в контакте ():
где — компоненты тензора напряжений; — компоненты тензора полной деформации; — компоненты тензора неупругой деформации (здесь — сумма температурной деформации и деформации ползучести); — компоненты вектора перемещения; — компоненты тензора упругих постоянных.
Задача решена с помощью метода конечных элементов в осесимметричной постановке, в расчетах применены элементы второго порядка на четырехугольной сетке. Дискретизация интеграла по контактным поверхностям выполнена с помощью mortar-метода, полученная в результате блочная система линейных уравнений решена с помощью модифицированного метода Якоби [2]
В проведенных расчетах полагалось, что нижние торцы оболочки и нижней таблетки закреплены по вертикали, на верхнем торце верхней таблетки задано постоянное давление 50 МПа, а на внешней поверхности оболочки — постоянное давление 10 МПа. В модели учитывалось, что каждая таблетка (кроме верхней и нижней) вступает в контакт с двумя соседними (сверху и снизу) таблетками и оболочкой (считается, что начального зазора между ними нет).
Дополнительные условия на поверхности для случая контакта без трения выглядят следующим образом:где — функция, задающая начальный зазор.
В проведенных расчетах считалось, что начальная температура К, температура всей оболочки является постоянной ( К), линейная мощность тепловыделения в таблетках является постоянной по пространству , а меняется по времени следующим образом: за 1 ч линейно возрастает от 0 до номинального значения и далее остается постоянной. На внешней поверхности таблеток задано условие теплообмена с оболочкой, на всех других поверхностях задан нулевой поток.
Для моделирования процесса ползучести использована теория течения. Так как напряжения зависят от деформаций ползучести, соотношение для производной тензора деформации ползучести по времени можно представить в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для ее решения в работе построен алгоритм, использующий метод трапеций с линеаризацией с помощью метода Ньютона.
Проведены серии расчетов для различного количества таблеток (от 1 до 350). Рассмотрены несогласованные сетки: таблетки разбиты на 10 элементов в направлениях r и z, а оболочка — на 5 элементов в направлении r, в направлении z каждый участок оболочки, соответствующий высоте одной таблетки, разбит на 10 элементов. Среднее время использования твэла в реакторе составляет несколько лет, поэтому для расчетов выбрано время c (около 10 лет). В работе использованы реалистичные модели материалов топливных таблеток и оболочек, взятые из открытой библиотеки MATPRO [3]. Таблетки выполнены из диоксида урана, оболочка — из сплава циркония. Использован алгоритм автоматического выбора шага по времени, основанный на правиле Рунге [4], в котором оценка локальной погрешности сравнивается с заданной величиной . Для случая 350 таблеток и точности время расчета составило 137529,4 с (около 38 часов), выполнено 8792 шага по времени, максимальная длина переменного шага равна 42800 с.
На рис. 3–5 представлены итоговые двумерные распределения радиальных, осевых и окружных деформаций ползучести в середине столба таблеток. Показаны фрагменты распределений, соответствующие 174-й и 175-й таблеткам, причем при построении деформированных тел приложенные перемещения для большей наглядности увеличены в 10 раз. Проведенные расчеты продемонстрировали, что радиальные напряжения за 10 лет уменьшаются в 5–10 раз по сравнению с начальными напряжениями в конструкции. Таким образом, учет деформаций ползучести приводит к заметному уменьшению значений напряжений в конструкции. Также происходит существенное смещение столба топливных таблеток относительно начального положения (до 5 см, что сопоставимо с высотой пяти таблеток).
Представлена постановка квазистационарной задачи мультиконтактного взаимодействия системы осесимметричных термоупругих тел с учетом процесса ползучести. Изложен численный алгоритм решения подобных задач, основанный на методе конечных элементов. Для численного решения задачи, моделирующей процессы ползучести, рассмотрен алгоритм, основанный на применении метода трапеций, для линеаризации использован метод Ньютона. Применен алгоритм автоматического выбора шага, который позволил существенно увеличить шаги по времени и сократить время расчета. Представлены результаты моделирования термомеханических процессов, проходящих в участке твэла, содержащего до 350 таблеток, на интервале времени до 10 лет.
