Главная Препринты Точные аналитические решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии

Точные аналитические решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии

Язык труда и переводы:
УДК:
532.212
Дата публикации:
13 ноября 2022, 14:48
Категория:
Математическое моделирование физических процессов и технических систем
Авторы
Лобанов Игорь Евгеньевич
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Аннотация:
Представлены точные аналитические решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела, полой сферы и полого цилиндра, полученные в замкнутой рекуррентной форме. Решения при граничных условиях на двух поверхностях для плоского тела и для полого шара были найдены без применения чисел Бернулли. Рассмотренная в статье рекуррентная форма записи решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела, полых цилиндров и сфер, — решение в замкнутой форме с единых позиций, что не всегда возможно в явной форме.
Ключевые слова:
теплопроводность, нестационарная задача теплопроводности, тело одномерной геометрии, аналитическое решение нестационарных задач
Основной текст труда

Решения в рекуррентной форме нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности

Безразмерно yрав­не­ние не­ли­ней­ной не­ста­цио­нар­ной те­п­ло­про­вод­ности для те­ла од­но­мер­ной гео­мет­рии и постоянной кривизны можно записать следующим образом [1—4]:

\partial T/\partial Fo=\partial ^{2}T/\partial \rho ^{2}+((k-1)/\rho )\partial T/\partial \rho .

Компонента воздействия температурного поля одномерного слоя, который подогревается на внутренней поверхности, рассматривается при использовании безразмерной координаты, для которой подогреваемая поверхность соответствует единичному значению [1—4]:

T(\rho ,\mathrm {FO} )=\sum _{n=0}^{\infty }\Theta _{n,1}P_{n,1}+\sum _{n=0}^{\infty }\Theta _{n,2}P_{n,2}.  

Плоская пластина

Квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничных условий на одной и той же поверхности для плоской пластины в рекуррентной форме:

P_{n,1}=\left(\rho ^{2}/(2n\cdot (2n-1))\right)P_{n-1,1};P_{n,2}=\left(\rho ^{2}/(2n\cdot (2n+1))\right)P_{n-1,2}\cdot

Сплошной цилиндр

Используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на оси сплошного цилиндра в рекуррентной форме:

P_{n,1}=\left(\rho ^{2}/4n^{2}\right)P_{n-1,1}.

Полый цилиндр

Используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого цилиндра в рекуррентной форме:

{\begin{aligned}&P_{n,1}={\frac {1}{((2n)!!)^{2}}}\rho ^{2}-\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {1}{((2(n-m))!!)^{2}}}P_{m,1}-\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {2(n-m)}{((2(n-m))!!)^{2}}}P_{m,2}\\&P_{n,2}=\left(\ln \rho -\sum _{m=1}^{n}m^{-1}\right)\rho ^{2}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {1}{((2(n-m))!!)^{2}}}\sum _{l=1}^{n-m}l^{-1}P_{m,1}+\\&+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {1}{((2(n-m))!!)^{2}}}P_{m,2}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {2(n-m)}{((2(n-m))!!)^{2}}}\sum _{l=1}^{n-m-1}l^{-1}P_{m,2}\end{aligned}}

 Сплошной шар

Используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия в центре сплошного шара в рекуррентной форме:

P_{n,1}=\left(\rho ^{2}/(2n\cdot (2n+1))\right)P_{n-1,1}.

Полый шар

Используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого шара в рекуррентной форме:

P_{n,1}={\frac {1(\rho -1)^{2}}{2n\cdot (2n+1)}}{\frac {(\rho +2n)}{(\rho +2(n-1))}}P_{n-1,1};P_{n,2}={\frac {(\rho -1)^{2}}{2n\cdot (2n+1)}}P_{n-1,2}.

Для заданных нестационарных граничных условий на oдной поверхности Θn,1 и Θn,2 рекуррентные соотношения будут следующими:

\Theta _{n,i}=\left(r_{1}^{2}/a\right)\left(\partial \Theta _{n-1,i}/\partial \tau \right),\forall i=1,2.

Вопросы корректности данной обратной задачи теплопроводности (т.е. существования решения, его единственности и его устойчивости) были подробно рассмотрены в работах [1—4], поэтому в данном исследовании нет необходимости их повторного рассмотрения

Решения в рекуррентной форме нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными температурными условиями на обеих поверхностях

Компонента воздействия температурного поля одномерного слоя, на границах которого имеют место нестационарные температурные границы, рассматривается при использовании безразмерной координаты: первая точка принимается за начало координат, а вторая имеет единичную абсциссу (для плоского поля); первая точка имеет единичную абсциссу, а вторая имеет точку ρ2 (для сферического и цилиндрического полей); может быть представлена в следующем виде [1—4]:

Плоская пластина

 В объeдиненной форме точные решения данной задачи (для Рn,1 и для Рn,2 ) будут выглядеть следующим образом:

P_{n,1}=F_{n,1}-\left.\sum _{i=0}^{n-1}F_{n-1-i,2}\left[F_{i+1,1}-\left.\sum _{k=0}^{i}F_{i+1-k,2}\Phi _{k,1}\right|_{\rho =1}\right]\right|_{\rho =1}-P_{n,2};

P_{n,2}=F_{n,2}-\left.\sum _{i=0}^{n-1}F_{n-1-i,2}\left[F_{i+1,2}-\left.\sum _{k=0}^{i}F_{i+1-k,2}\Phi _{k,2}\right|_{\rho =1}\right]\right|_{\rho =1}.

Полый цилиндр

В объeдинённой форме точные решения данной задачи (для Рn,1 и для Рn,2) будут выглядеть следующим образом:

{\begin{aligned}&P_{n,1}=F_{n,1}-\left.\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{\ln \rho _{2}}}F_{n-1-i,2}\left[F_{i+1,1}-\left.\sum _{k=0}^{i}{\frac {1}{\ln \rho _{2}}}F_{i+1-k,2}\Phi _{k,1}\right|_{\rho =\rho _{2}}\right]\right|_{\rho =\rho _{2}}-\\&-P_{n,2};P_{n,2}={\frac {1}{\ln \rho _{2}}}F_{n,2}-\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{\ln \rho _{2}}}F_{n-1-i,2}\times \\&\times \left.\left[{\frac {1}{\ln \rho _{2}}}F_{i+1,2}-\left.\sum _{k=0}^{i}{\frac {1}{\ln \rho _{2}}}F_{i+1-k,2}\Phi _{k,2}\right|_{\rho =\rho _{2}}\right]\right|_{\rho =\rho _{2}}.\end{aligned}}       

Полый шар

В объeдиненной форме точные решения данной задачи (для Рn,1 и для Рn,2) будут выглядеть следующим образом:

{\begin{aligned}&P_{n,1}=F_{n,1}-\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\rho _{2}}{\left(\rho _{2}-1\right)}}F_{n-1-i,2}\times \\&\times \left.\left[F_{i+1,1}-\left.\sum _{k=0}^{i}{\frac {\rho _{2}}{\left(\rho _{2}-1\right)}}F_{i+1-k,2}\Phi _{k,1}\right|_{\rho =\rho _{2}}\right]\right|_{\rho =\rho _{2}}-P_{n,2};P_{n,2}={\frac {\rho _{2}}{\left(\rho _{2}-1\right)}}F_{n,2}-\\&-\left.\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\rho _{2}}{\left(\rho _{2}-1\right)}}F_{n-1-i,2}\left[{\frac {\rho _{2}}{\left(\rho _{2}-1\right)}}F_{i+1,2}-\left.\sum _{k=0}^{i}{\frac {\rho _{2}}{\left(\rho _{2}-1\right)}}F_{i+1-k,2}\Phi _{k,2}\right|_{\rho =\rho _{2}}\right]\right|_{\rho =\rho _{2}}.\end{aligned}}

Выводы

Полученная в работе рекуррентная форма записи решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела, полого цилиндра и полой сферы, является решением в замкнутой форме с единых позиций, что не всегда возможно в явной форме.

Литература
  1. Бургграф О.Р. Точное решение обратной задачи в теории теплопроводности и её приложениях. Труды американского общества инженеров-механиков. Сер. С: Теплопередача, 1964, № 3, с. 94—106.
  2. Тёмкин А.Г. Обратные задачи теплопроводности. Москва, Энергия, 1973, 464 с.
  3. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч., мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. Москва, Мир, 1989, 312 с.
  4. Имбер М., Кхан Д. Расчет нестационарного распределения температуры на основании показаний тепмопар, расположенных внутри тела. Ракетная техника и космонавтика, 1972, № 2, с. 83—90.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.