Главная Препринты Колебания консоли с движущейся границей, лежащей на упругом основании

Колебания консоли с движущейся границей, лежащей на упругом основании

Язык труда и переводы:
УДК:
534.11
Дата публикации:
18 ноября 2022, 14:41
Категория:
Математическое моделирование физических процессов и технических систем
Авторы
Литвинов Владислав Львович
МГУ, СФ СамГТУ
Литвинова Кристина Владиславовна
МГУ, СФ СамГТУ
Аннотация:
Используя метод Канторовича — Галеркина находится приближенное решение задачи о поперечных колебаниях консоли с движущейся границей, лежащей на упругом основании. Приводятся результаты, полученные для амплитуды колебаний, соответствующих n-й динамической моде. Исследуется явление установившегося резонанса и прохождения через резонанс. Решение получено для наиболее распространенного на практике случая, когда внешние возмущения действуют на движущейся границе.
Ключевые слова:
колебания систем с движущимися границами, упругое основание, резонансные свойства, амплитуда колебаний
Основной текст труда

Одномерные колебательные системы, границы которых движутся, широко распространены в технике: изгибные колебания валов, балок и стержней с подвижными закреплениями [1–9].

Возникновение колебаний большой амплитуды в указанных объектах часто бывает недопустимым, поэтому на первом плане здесь стоит анализ резонансных свойств. Результатами такого анализа могут стать: повышение надежности работы технических объектов с переменными во времени границами, повышение точности расчетов конструкций на динамическую прочность. Наличие движущихся границ вызывает значительные затруднения при описании таких систем. Точные методы решения ограничены волновым уравнением и сравнительно простыми граничными условиями [4, 10]. Из приближенных методов наиболее эффективен метод Канторовича – Галеркина, описанный в [1, 11–13] и метод решения интегро-дифференциального уравнения, описывающего колебаний механических систем с движущимися границами [14, 15]. Метод Канторовича – Галеркина позволяет учи­тывать действие на систему сил сопротивления среды [7, 16], изгибную жесткость [7], вязкоупругие свойства колеблющегося объекта [6, 8], а также жесткость подложки [3].

Рассмотрим явление установившегося резонанса и прохождение через резонанс для поперечных колебаний балки переменной длины на подпружиненной подложке.

Дифференциальное уравнение, описывающее колебания балки, имеет вид [2, 3, 17]:

U_{tt}(x,t)+\alpha ^{2}U_{xxxx}(x,t)+{\frac {k_{0}}{\rho }}U(x,t)=0.                                                                                        (1)

Граничные условия:

U_{xx}(0,t)=0;   U_{xxx}(0,t)=0;                                                                                               (2)

U(l_{0}(t),t)=B\cos W_{0}(\omega _{0}t);       U_{x}(l_{0}(t),t)=0.                                                                                 (3)

Начальные условия не оказывают влияние на резонансные свойства линейных систем, поэтому в данной задаче они не рассматриваются [1, 9]. В (1)-(3) используются следующие обозначения: U(x,t) — поперечное смещение точки балки с коорди­натой x в момент времени t ; \alpha ^{2}={\frac {EI}{\rho }} ,  где  E — модуль упругости материала балки; I — осевой момент инерции сечения балки; \rho — линейная плотность массы балки; k_{0} — жесткость подложки; l_{0}(t)=L_{0}-v_{0}t  — закон движения правой границы; L_{0}  —  начальная длина балки; v_{0} — скорость движения границы; W_{0}(z)  — функция класса C^{2} ; B,\omega _{0} — постоянные величины (в случае действия гармонического возмущения \omega _{0}  является частотой этого возмущения).

Если ввести в задачу (1)-(3) безразмерные переменные:

\phi _{0}={\frac {\sqrt {\omega _{0}\alpha }}{v_{0}}}-{\frac {\omega _{0}L_{0}}{v_{0}}} \xi ={\sqrt {\frac {\omega _{0}}{\alpha }}}x; \tau =\omega _{0}t+\phi _{0};

и новую функцию U(x,t)=Bu(\xi ,\tau ).

то исходная задача примет вид

u_{\tau \tau }(\xi ,\tau )+u_{\xi \xi \xi \xi }(\xi ,\tau )+\eta u(\xi ,\tau )=0;                                                                                                  (4)

  u_{\xi \xi }(0,\tau )=0;\;      u_{\xi \xi \xi }(0,\tau )=0;                                                                                                      (5)

u(l(\varepsilon \tau ),\tau )=\cos \;W(\tau );\;u_{\xi }(l(\varepsilon \tau ),\tau )=0,                                                                                         (6)

где

\eta ={\frac {k_{0}}{\rho \omega _{0}^{2}}}; l(\varepsilon \tau )=1+\varepsilon \tau ;\;\varepsilon =-{\frac {v_{0}}{\sqrt {\alpha \omega _{0}}}};\;\,W(\tau )=W_{0}(\tau -\phi _{0}).

Для исключения неоднородностей в граничных условиях введем в уравнение (4) новую функцию

  u(\xi ,\tau )=V(\xi ,\tau )+H(\xi ,\tau ),                                                                                                      (7)

где   

  H(\xi ,\tau )=D_{21}(\xi ,\varepsilon \tau )\cos \;W(\tau ),                                                                                               (8)

при этом функция  определяются следующим образом:

D_{21\xi \xi \xi \xi }(\xi ,\varepsilon \tau )=0;

D_{21\xi \xi }(0,\varepsilon \tau )=0;      D_{21}(\ell (\varepsilon \tau ),\varepsilon \tau )=1.

  D_{21\xi \xi \xi }(0,\varepsilon \tau )=0;   D_{21\xi }(\ell (\varepsilon \tau ),\varepsilon \tau )=0.

Отсюда

D_{21}(\xi ,\varepsilon \tau )=1.

Функция находится как решение следующей задачи:

V_{\tau \tau }(\xi ,\tau )+V_{\xi \xi \xi \xi }(\xi ,\tau )+\eta V(\xi ,\tau )=-H_{\tau \tau }(\xi ,\tau )-\eta \cos \;W(\tau );                                                  (9)

V_{\xi \xi }(0,\tau )=0;\; V_{\xi \xi \xi }(0,\tau )=0;                                                                                              (10)

   V(l(\varepsilon \tau ),\tau )=0;\;V_{\xi }(l(\varepsilon \tau ),\tau )=0.                                                                                     (11)

Для решения задачи (9)-(11) воспользуемся методом Канторовича — Галеркина [1, 11, 12]. Решение будем искать в виде

V(\xi ,\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(\tau )X_{n}(\xi ,\varepsilon \tau ).                                                                                        (12)

Решая задачу

         X_{n\xi \xi \xi \xi }(\xi ,\varepsilon \tau )-\omega _{0n}^{2}(\varepsilon \tau )X_{n}(\xi ,\varepsilon \tau )=0;                                                                                        (13)

  X_{n\xi \xi }(0,\varepsilon \tau )=0;   X_{n\xi \xi \xi }(0,\varepsilon \tau )=0;

X_{n}(l(\varepsilon \tau ),\varepsilon \tau )=0; X_{n\xi }(l(\varepsilon \tau ),\varepsilon \tau )=0,

найдем выражения для динамических мод

X_{n}(\xi ,\varepsilon \tau )=C_{n}(\varepsilon \tau )\left({\sin \left({r_{n}(\varepsilon \tau )\xi }\right)+sh\left({r_{n}(\varepsilon \tau )\xi }\right)}\right)+\cos \left({r_{n}(\varepsilon \tau )\xi }\right)+ch\left({r_{n}(\varepsilon \tau )\xi }\right),

где

C_{n}(\varepsilon \tau )=-{\frac {ch\left[{r_{n}(\varepsilon \tau )l(\varepsilon \tau )}\right]+\cos \left[{r_{n}(\varepsilon \tau )l(\varepsilon \tau )}\right]}{sh\left[{r_{n}(\varepsilon \tau )l(\varepsilon \tau )}\right]+\sin \left[{r_{n}(\varepsilon \tau )l(\varepsilon \tau )}\right]}}; r_{n}(\varepsilon \tau )={\sqrt {\omega _{0n}(\varepsilon \tau )}};

k_{n}\approx \pi n+\pi /2. \omega _{0n}(\varepsilon \tau )={\frac {k_{n}^{2}}{l^{2}(\varepsilon \tau )}};

Подставляя n -й член ряда (12) в уравнение (9) с учетом (13), получим:

\left[{f_{n}(\tau )X_{n}(\xi ,\varepsilon \tau )}\right]_{\tau \tau }+\Omega _{0n}^{2}(\varepsilon \tau )f_{n}(\tau )X_{n}(\xi ,\varepsilon \tau )=-H_{\tau \tau }(\xi ,\tau )-\eta \cos \;W(\tau ),                                             (14)

где \Omega _{0n}^{2}(\varepsilon \tau )=\omega _{0n}^{2}(\varepsilon \tau )+\eta .

Как и в [11, 12, 14], функцию f_{n}(\tau )  будем определять из условия ортогональности левой части уравнения (14) с функцией X_{n}(\xi ,\varepsilon \tau ) на интервале \left[{0;l(\varepsilon \tau )}\right]. В этом случае будем иметь:

  {\begin{array}{l}\int \limits _{0}^{l(\varepsilon \tau )}{\left[{f_{n}(\tau )X_{n}(\xi ,\varepsilon \tau )}\right]}_{\tau \tau }X_{n}(\xi ,\varepsilon \tau )d\xi +A_{n1}(\varepsilon \tau )\Omega _{0n}^{2}(\varepsilon \tau )f_{n}(\tau )+\\+\int \limits _{0}^{l(\varepsilon \tau )}{\left[{H_{\tau \tau }(\xi ,\tau )+\eta \cos \;W(\tau )}\right]}X_{n}(\xi ,\varepsilon \tau )d\xi =0,\\\end{array}}                                                       (15)

где A_{n1}(\varepsilon \tau )=\int \limits _{0}^{l(\varepsilon \tau )}{X_{n}^{2}(\xi ,\varepsilon \tau )d\xi \approx 1,16\,l(\varepsilon \tau ).}

Введем в уравнение (15) новую функцию

f_{n}(\tau )=\mu _{n}(\tau )+Q_{n}(\varepsilon \tau )\cos \;W(\tau ),                                                                                   (16)

где

Q_{n}(\varepsilon \tau )=-{\frac {\int \limits _{0}^{l(\varepsilon _{0}\tau )}{X_{n}^{}(\xi ,\varepsilon \tau )d\xi }}{A_{n1}(\varepsilon \tau )}}\approx {\frac {0,12(-1)^{n}}{k_{n}}}.

Тогда уравнение (15) с точностью до величин порядка малости \varepsilon ^{2}  будет иметь вид

\mu ''_{n}(\tau )+2\varepsilon {\frac {A_{2n}(\varepsilon \tau )}{A_{1n}(\varepsilon \tau )}}\mu '_{n}(\tau )+\Omega _{0n}^{2}(\varepsilon \tau )\mu _{n}(\tau )=-\omega _{0n}^{2}(\varepsilon \tau )Q_{n}(\varepsilon \tau )\cos \;W(\tau ),                                              (17)

где \varepsilon A_{n2}(\varepsilon \tau )=\int \limits _{0}^{l(\varepsilon \tau )}{X_{n_{\tau }}(\xi ,\varepsilon \tau )X_{n}(\xi ,\varepsilon \tau )d\xi \approx 0,57\varepsilon \,l'(\varepsilon \tau ).}

Второй член правой части равенства (16) слабо влияет на точность, поэтому вместо (12) можно записать:

V(\xi ,\tau )=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\mu _{n}(\tau )X_{n}^{}(\xi ,\varepsilon \tau )}.

Перейдем к определению функций \mu _{n}(\tau ) . Введем в уравнение (17) новую функцию

\mu _{n}(\tau )=A_{0n}(\varepsilon \tau )y_{n}(\tau ),

где

A_{0n}(\varepsilon \tau )=\exp \left[{-\int \limits _{0}^{\tau }{\varepsilon {\frac {A_{2n}(\varepsilon \zeta )}{A_{1n}(\varepsilon \zeta )}}d\zeta }}\right]\approx {\frac {1}{\sqrt {l(\varepsilon \tau )}}}

Тогда уравнение (17) будет иметь вид

y''_{n}(\tau )+\Omega _{0n}^{2}(\varepsilon \tau )y_{n}(\tau )=-{\frac {\omega _{0n}^{2}(\varepsilon \tau )Q_{n}(\varepsilon \tau )}{A_{0n}(\varepsilon \tau )}}\cos \;W(\tau ).

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям [11, 12, 14] и используя метод малого параметра [18], получим следующее выражение для амплитуды колебаний, соответствующих n -й динамической моде:

A_{n}^{2}(\tau )=E_{n}^{2}(\tau )\left\{{\left[{\int \limits _{0}^{\tau }{F_{n}(\zeta )\cos \Phi _{n}(\zeta )d\zeta }}\right]^{2}+}\right.\left.{\left[{\int \limits _{0}^{\tau }{F_{n}(\zeta )\sin \Phi _{n}(\zeta )d\zeta }}\right]^{2}}\right\},

где

  E_{n}^{2}(\tau )={\frac {0,25}{\Omega _{0n}^{}(\varepsilon \tau )l(\varepsilon \tau )}}; \Phi _{n}(\zeta )=w_{n}(\zeta )-W(\zeta ); w_{n}(\tau )=\int \limits _{0}^{\tau }{\Omega _{0n}^{}(\varepsilon \tau )d\zeta ;}

F_{n}(\tau )={\frac {0,12k_{n}^{3}}{\sqrt {\Omega _{0n}^{}(\varepsilon \tau )l^{7}(\varepsilon \tau )}}}.

Явление установившегося резонанса в рассматриваемой системе наблюда­ется, если скорость изменения функции \Phi _{n}(\zeta ) равна нулю, т. е.:

W(\tau )=w_{n}(\tau )+\gamma ,

где \gamma — постоянная величина.

Амплитуда при этом имеет вид

A_{n}(\tau )=E_{n}^{}(\varepsilon \tau )\int \limits _{0}^{\tau }{F_{n}(\varepsilon \zeta )}d\zeta .

Если W(\tau )=\tau , то в области, содержащей точку \tau _{0}={\frac {1}{\varepsilon }}\left({{\frac {k_{n}^{}}{\sqrt[{4}]{1-\eta }}}-1}\right)  наблюдается явление прохождения через резонанс.

Выражение для максимально возможной амплитуды при прохождении через резонанс имеет вид:

A_{n}^{2}(\tau _{1},\tau _{2})=E_{n}^{2}(\varepsilon \tau _{2})\left\{{\left[{\int \limits _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{F_{n}}(\varepsilon \zeta )\cos \Phi _{n}(\zeta )d\zeta }\right]^{2}}\right.+\left.{\left[{\int \limits _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{F_{n}}(\varepsilon \zeta )\sin \Phi _{n}(\zeta )d\zeta }\right]^{2}}\right\}.

В заключении отметим, что приведенные здесь результаты позволяют произвести количественный анализ установившегося резонанса и явления прохождения через резонанс для систем, колебания в которых описывает задача (1)-(3).

Литература
  1. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Резонансные свойства механических объектов с движущимися границами: монография. Самара, Самар. гос. техн. ун–т, 2009, 131 с.
  2. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Математические модели продольно-поперечных колебаний объектов с движущимися границами. Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико–математические науки, 2015, № 2 (19), с. 382–397.
  3. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Постановка задачи о колебаниях балки с движущейся подпружиненной опорой. Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки, 2013, № 1 (37), с. 93–98.
  4. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. Москва, Физматлит, 2001, 320 с.
  5. Лежнева А.А. Изгибные колебания балки переменной длины. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № 1, с. 159-161.
  6. Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. Вычисление собственных частот каната движущегося в продольном направлении. Журнал Средневолжского математического общества, 2017, т. 19, № 1, с. 130-139.
  7. Литвинов В.Л. Поперечные колебания балки переменной длины с учетом изгибной жесткости и действия демпфирующих сил. Четвертое российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам: тезисы докладов. Знаменская О.В., Щуплев А.В., отв. ред. Красноярск, Сибирский федеральный университет, 2012, с. 42–43.
  8. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Вынужденные колебания вязкоупругой балки переменной длины. Математическое моделирование и краевые задачи: Труды девятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара, СамГТУ, 2013, с. 17–19.
  9. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Резонансная амплитуда колебаний балки переменной длины. Третья международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: сб. материалов. Волович И.В., Радченко В.П., ред. Самара, СамГТУ, 2012, с. 37–38.
  10. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Решение краевых задач с движущимися границами при помощи метода замены переменных в функциональном уравнении. Журнал Средневолжского математического общества, 2013, т. 15, № 3, с. 112-119.
  11. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Исследование резонансных свойств механических объектов при помощи метода Канторовича — Галеркина. Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико–математические науки, 2009, № 1 (18), 2009, с. 149–158.
  12. Литвинов В.Л. Решение задач о колебаниях вязкоупругих объектов переменной длины методом Канторовича — Галеркина. Научная мысль, 2016, №, с. 37-43.
  13. Динг Ху, Чен Ли-Квун. Методы Галеркина для собственных частот движущейся в осевом направлении балки. Общие вопросы механики. Общая механика, 2011, №2, c. 35-38.
  14. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Аналитический метод решения волнового уравнения с широким классом условий на движущихся границах. Вестник научно–технического развития, 2016, № 2 (102), с. 28-35.
  15. Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев, Наукова думка, 1971, 270 с.
  16. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Анализ влияния движения границ при исследовании резонансных свойств систем с демпфированием. Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико–математические науки, 2009, № 2 (19), с. 147–152.
  17. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Применение вариационного принципа Гамильтона для нелинейной постановки задачи о колебаниях балки с движущейся границей. Математическое моделирование и краевые задачи: Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара, СамГТУ, 2011, с. 10–14.
  18. Литвинов В.Л. Исследование свободных колебаний механических объектов с движущимися границами при помощи асимптотического метода. Журнал Средневолжского математического общества, 2014, т. 16, № 1, с. 83–88.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.