Главная Препринты Производство энтропии в периодическом необратимом процессе

Производство энтропии в периодическом необратимом процессе

Язык труда и переводы:
УДК:
536.75
Дата публикации:
07 ноября 2022, 17:25
Категория:
Перспективные направления исследования необратимых физических процессов
Авторы
Морозов Андрей Николаевич
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Аннотация:
Проведен расчет производства энтропии для общего случая сильно неравновесных процессов переноса с долговременной памятью. Показано, что при гармоническом изменении термодинамической силы в некоторые моменты времени реализуется режим, при котором производство энтропии принимает отрицательное значение. Это означает, что в эти моменты времени при протекании необратимого термодинамического процесса наблюдается не увеличение, а уменьшение энтропии. Такой эффект должен наблюдаться не только при гармоническом изменении термодинамической силы, но и при других ее временных зависимостях.
Ключевые слова:
производство энтропии, необратимые процессы, термодинамическая сила, термодинамический поток, режим отрицательного производства энтропии
Основной текст труда

При расчете производства энтропии в необратимых процессах априори предполагается, что эта величина не может принимать отрицательные значения [1]. Для обычной линейной зависимости термодинамического потока от термодинамической силы это автоматически выполняется. Рассмотрим случай расчета производства энтропии для общего случая, учитывающего протекание сильно неравновесных процессов, которые можно отнести к классу немарковских физических процессов [2].

В [3, 4] предложено проводить описание необратимых процессов переноса в общем случае с помощью выражения для зависимости термодинамического потока  J\left({t}\right)  от термодинамической силы X\left({t}\right)  в виде

J\left(t\right)=\int \limits _{-\infty }^{t}{L_{0}\left({\delta \left({t-\tau }\right)+{\frac {1}{\sqrt {\nu _{\tau }\left({t-\tau }\right)}}}{\frac {d}{d\tau }}}\right)X\left(\tau \right)d\tau } ,                                                                (1)

где  L_{0} – кинетический коэффициент переноса; \delta \left({t-\tau }\right) — дельта-функция; \nu _{\tau }={\frac {1}{\tau _{0}}} — интенсивность случайных флуктуаций в локально-неравновесной среде; \tau _{0} — постоянная времени хаотизации частиц среды.

В формуле (1) первое слагаемое описывает равновесные процессы переноса, а второе — сильно неравновесные процессы с долговременной памятью.

Производство энтропии может быть вычислена по стандартной формуле

\sigma \left(t\right)=J\left(t\right)X\left(t\right)                                                                                                                     (2)

и в общем случае принимает вид

\sigma \left(t\right)=X\left(t\right)\int \limits _{-\infty }^{t}{L_{0}\left({\delta \left({t-\tau }\right)+{\frac {1}{\sqrt {\nu _{\tau }\left({t-\tau }\right)}}}{\frac {d}{d\tau }}}\right)X\left(\tau \right)d\tau } .                                                                (3)

Пусть термодинамическая сила изменяется по гармоническому закону 

X\left(t\right)=X_{0}\sin \left({\omega t}\right) .                                                                                                    (4)

Тогда формула (3) приобретает вид

\sigma \left(t\right)=L_{0}X_{0}^{2}\sin ^{2}\left({\omega t}\right)+L_{0}X_{0}^{2}\omega \sin \left({\omega t}\right)\int \limits _{-\infty }^{t}{{\frac {1}{\sqrt {\nu _{\tau }\left({t-\tau }\right)}}}\cos \left({\omega \tau }\right)d\tau } .                                                                  (5)

После вычисления интеграла и проведения несложных преобразований выражение (5) приобретает форму

\sigma \left(t\right)=L_{0}X_{0}^{2}\left({\sin ^{2}\left({\omega t}\right)+{\sqrt {\frac {\pi \omega }{2\nu _{\tau }}}}\left({\sin \left({\omega t}\right)\cos \left({\omega t}\right)+\sin ^{2}\left({\omega t}\right)}\right)}\right)                                                                 (6)

или

\sigma \left(t\right)={\frac {L_{0}X_{0}^{2}}{2}}\left({\left({1-\cos \left({2\omega t}\right)}\right)+{\sqrt {\frac {\pi \omega }{2\nu _{\tau }}}}\left({1+{\sqrt {2}}\sin \left({2\omega t-{\frac {\pi }{4}}}\right)}\right)}\right) .                                                             (7)

Усреднение формулы (7) за период изменения термодинамической силы позволяет рассчитать среднее производство энтропии в рассматриваемом процессе

\sigma \left(t\right)={\frac {L_{0}X_{0}^{2}}{2}}\left({1+{\sqrt {\frac {\pi \omega }{2\nu _{\tau }}}}}\right) .                                                                                                (8)

Как следует из выражения (8) добавление в формулу (1) второго слагаемого, описывающего сильно неравновесный процесс, приводит к возрастанию среднего значения производства энтропии, которое можно рассчитать с помощью второго слагаемого в формуле (8).

Анализ выражения (7) показывает, что существуют такие моменты времени, когда производство энтропии становиться отрицательной величиной. Действительно, если первое слагаемое в формуле (7) неотрицательно, то второе может принимать отрицательное значение.

Из формулы (6) следует, что моменты времени, когда производство энтропии становится отрицательной величиной, можно определить с помощью неравенства

\sin \left({\omega t}\right)\left({\left({1+{\sqrt {\frac {\pi \omega }{2\nu _{\tau }}}}}\right)\sin \left({\omega t}\right)+{\sqrt {\frac {\pi \omega }{2\nu _{\tau }}}}\cos \left({\omega t}\right)}\right)<0 .                                                                  (9)

Это неравенство может быть выполнено при условии

-{\frac {\sqrt {\pi \omega }}{{\sqrt {\pi \omega }}+{\sqrt {2\nu _{\tau }}}}}<tg\left({\omega t}\right)<0 .                                                                                (10)

При малых значениях частоты изменения термодинамической силы, т. е. в случае: \pi \omega <<2\nu _{\tau } , отрицательная величина производства энтропии будет наблюдаться при выполнении условия

  \pi n-{\frac {\sqrt {\pi \omega }}{{\sqrt {\pi \omega }}+{\sqrt {2\nu _{\tau }}}}}<\omega t<\pi n   ,                                                                                        (11)

где {n} — любое целое число.

На рисунке приведены результаты моделирования функции (7) при L_{0}=X_{0}=1 и различных значениях частоты \omega : \omega =0,01{\frac {2\nu _{\tau }}{\pi }};{\frac {2\nu _{\tau }}{\pi }};100{\frac {2\nu _{\tau }}{\pi }} . Хорошо видно, что при значениях \omega t , немного меньших величин \pi n , то есть при \omega t<\pi n,n=1,2 , наблюдаются отрицательные значения производства энтропии.

Графики функций производства энтропии  при разных значениях частоты

1 - \omega =0,01{\frac {2\nu _{\tau }}{\pi }} ; 2 — \omega ={\frac {2\nu _{\tau }}{\pi }} ; 3 - \omega =100{\frac {2\nu _{\tau }}{\pi }}

Таким образом, проведенное описание позволяет сделать заключение, что при использовании обобщенной зависимости (1) для связи термодинамического потока и термодинамической силы возможно возникновение режима отрицательного производства энтропии. Иначе говоря, в эти моменты времени при протекании необратимого  процесса наблюдается не увеличение, а уменьшение энтропии. Такой эффект должен наблюдаться не только при гармоническом изменении термодинамической силы, но и при других её временных зависимостях.

Литература
  1. Базаров И.П. Термодинамика. Москва, Высшая школа, 1991, 376 с.
  2. Морозов А.Н., Скрипкин А.В. Немарковские физические процессы. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2018, 288 с.
  3. Морозов А.Н. Фликкер-шум в локально-неравновесной среде. Письма в ЖЭТФ, 2018, т. 107, вып. 12, с. 823-824.
  4. Морозов А.Н. Кинетическое описание неравновесных процессов переноса. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2021, № 5 (98), с. 60–72. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2021 -5-60-72
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.