Главная Препринты Одноосцилляторная модель распространения оптического поля в метаматериале с одномерной пространственно-периодической сверхструктурой

Одноосцилляторная модель распространения оптического поля в метаматериале с одномерной пространственно-периодической сверхструктурой

Язык труда и переводы:
УДК:
535.224
Дата публикации:
07 ноября 2022, 19:41
Категория:
Необратимые оптические процессы
Авторы
Филатов Владимир Викторович
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Корец Дарья Анатольевна
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Дащинский Александр Андреевич
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Аннотация:
Рассмотрены одномерные фотонные кристаллы, сверхструктура которых представлена правильной одномерной сверхрешеткой, сформированной однотипными узлами. Установлен одноосцилляторный закон дисперсии волнового поля в одномерном фотонном кристалле. Сделан вывод, что полученный результат качественно согласуется с наблюдаемыми в эксперименте особенностями спектров вторичного излучения одномерных фотонных кристаллов.
Ключевые слова:
фотонный кристалл, дисперсия, нелинейная оптика, диэлектрическая функция, фотонные композиты
Основной текст труда

Одномерные фотонные кристаллы — оптические метаматериалы, сверхструктура которых представлена правильной одномерной сверхрешеткой, сформированной однотипными узлами [1–4]. В настоящей статье устанавливается одноосцилляторный закон дисперсии волнового поля в одномерном фотонном кристалле.

Для получения искомого дисперсионного соотношения представим сверхрешетку одномерного фотоннокристаллического образца одномерной цепочкой N одинаковых узлов массы m , связанных упругими силами. В этом случае внешняя сила f_{j} , действуя на j -й узел, смещает последний из положения равновесия x_{j}=ja ( a — период сверхструктуры) на некоторую величину \xi _{j} , вызывая упругую реакцию со стороны соседей:

{\frac {d^{2}\xi _{j}}{{dt}^{2}}}=\chi \left(\xi _{j+1}-\xi _{j}\right)-\chi \left(\xi _{j}-\xi _{j-1}\right)+f_{j} ,                                                                           (1)

где \chi — коэффициент упругости связи соседних узлов сверхрешетки.

Для получения амплитудно-частотной характеристики колебаний (1) разложим внешнюю силу f_{j}  по Фурье-гармоникам и рассмотрим одну из них:

f_{j}=f\exp \left\lbrack i(kx-\omega t)\right\rbrack .

Для данной гармоники формула (1) записывается явным образом как

{\frac {d^{2}\xi _{j}}{{\text{dt}}^{2}}}={\frac {\chi }{m}}\left(\xi _{j+1}-2\xi _{j}+\xi _{j-1}\right)+{\frac {f}{m}}\exp \left\lbrack i(kx-\omega t)\right\rbrack ,                                                                    (2)

что позволяет искать решение дифференциального уравнения колебаний в гармоническом виде

\xi _{j}=A\exp \left\lbrack i\left(kx_{j}-\omega t\right)\right\rbrack ,                                                                                          (3)

где амплитуда колебаний A неизвестна, однако может быть легко найдена непосредственной подстановкой (3) в дифференциальное уравнение (2):

-\omega ^{2}A={\frac {\chi }{m}}\left(Ae^{ika}-2A+Ae^{-ika}\right)+{\frac {f}{m}} ,

что дает

A={\frac {\frac {f}{m}}{\left({\frac {\chi }{m}}\right)\times \left(2-2\cos {\text{ka}}\right)-\omega ^{2}}} .                                                                                                    (4)

Выражение (4) есть амплитудно-частотная характеристика колебаний узлов сверхрешетки фотонного кристалла.

Для сокращения записи введем обозначение:

\omega _{0}(k)\equiv \left\lbrack {\frac {\chi }{m}}\left(2-2\cos {\text{ka}}\right)\right\rbrack ^{\frac {1}{2}}=\left(2{\sqrt {\frac {\chi }{m}}}\right)\times \sin \left({\frac {\text{ka}}{2}}\right) ,                                                                     (5)

позволяющее получить кинематику ((3) с учетом (4)) узлов сверхрешетки фотонного кристалла во внешнем поле:

\xi _{j}={\frac {\frac {f}{m}}{\omega _{0}^{2}(k)-\omega ^{2}}}\exp \left\lbrack i\left(kx_{j}-\omega t\right)\right\rbrack ={\frac {\frac {f_{j}}{m}}{\omega _{0}^{2}(k)-\omega ^{2}}} .                                                                          (6)

Как видно из полученного результата, в итоговый ответ не входят какие-либо частные характеристики конкретной Фурье-гармоники f , поэтому выражение (6) справедливо для всех Фурье-гармоник, действующих на узел j , т. е. и для всего произвольного поля внешних сил f_{j} .

Определив кинематику сверхрешетки, перейдем к ее энергетике. Для этого найдем кинетическую энергию одиночного ( j -го) узла:

W_{kj}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {d\xi _{j}}{\text{dt}}}\right)^{2} ,  

а также его потенциальную энергию:

W_{pj}={\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\chi \left(\xi _{j+1}-\xi _{j}\right)^{2}}{2}}+{\frac {\chi \left(\xi _{j}-\xi _{j-1}\right)^{2}}{2}}\right\}\simeq {\frac {1}{2}}\cdot 2\cdot {\frac {\chi \left(\xi _{j+1}-\xi _{j}\right)^{2}}{2}}=

={\frac {\chi }{2}}\xi _{j}^{2}\left|e^{ika}-1\right|^{2}={\frac {\chi }{2}}\xi _{j}^{2}\cdot 4\sin ^{2}\left({\frac {\text{ka}}{2}}\right)={\frac {\chi }{2}}\xi _{j}^{2}\cdot {\frac {m\omega _{0}^{2}}{\chi }}={\frac {m\omega _{0}^{2}\xi _{j}^{2}}{2}} .   

Таким образом, полная механическая энергия одиночного узла есть

W_{j}=W_{kj}+W_{pj}={\frac {m\left(d{\frac {\xi _{j}}{\text{dt}}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {m\omega _{0}^{2}\xi _{j}^{2}}{2}} ,  

поэтому полная механическая энергия колебаний всего кристалла суть

W=\sum _{j}^{}W_{j}=\sum _{j}^{}\left\{{\frac {m\left(d{\frac {\xi _{j}}{\text{dt}}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {m\omega _{0}^{2}\xi _{j}^{2}}{2}}\right\} .                                                                                       (7)

Результат (7) имеет важное значение: с энергетической точки зрения одномерный фотонный кристалл представляет собой набор однотипных (с одинаковой собственной частотой \omega _{0} ) независимых осцилляторов. Таким образом, особенности распространения оптических полей в метаматериалах с одномерной пространственно-периодической сверхструктурой могут быть выявлены в рамках осцилляторной модели (эйнштейновская модель твердого тела).

Используем этот факт для получения уравнения дисперсии оптического поля в фотонном кристалле. С этой целью вычислим величину поляризации P :

P={\frac {1}{V}}\sum _{j}^{}{q\xi _{j}}\equiv (\varepsilon -1)\varepsilon _{0}E , 

где q — эффективный заряд узла сверхрешетки; E=f_{j}/q — напряженность электрической компоненты оптического поля; V —  объем кристалла.

Следовательно, диэлектрическая проницаемость \varepsilon метаматериала равна

\varepsilon =1+{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q}{V}}\sum _{j}^{}{\frac {\frac {q}{m}}{\omega _{0}^{2}(k)-\omega ^{2}}}=1+{\frac {N}{V}}\cdot {\frac {q^{2}}{m\varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}^{2}(k)-\omega ^{2}}}\right)\equiv 1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{0}^{2}(k)-\omega ^{2}}} ,  

где смысл введенной постоянной \omega _{p}  ясен из формулы.

Таким образом, диэлектрическая функция одномерной фотоннокристаллической среды, вообще говоря, обладает как частотной, так и пространственной дисперсией \varepsilon =\varepsilon (\omega ,k) . Вблизи центра зоны Бриллюэна (k=0) в силу (5) имеем плазмоподобный закон дисперсии

\varepsilon (k=0)=1-{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}}} , 

приводящий к «плазмоноподобной» запрещённой фотонной зоне в области малых волновых чисел (k\approx 0) . На краю зоны Бриллюэна (k=\pi /a) вследствие (5) получаем

\varepsilon \left(k={\frac {\pi }{a}}\right)=1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}  

классический поляритонный одноосцилляторный закон дисперсии электромагнитного поля в материальной среде, в котором также присутствуют запрещенные «поляритонные» фотонные зоны в области аномальной дисперсии.

Подводя итог, констатируем, что закон дисперсии оптического поля в одномерном фотонном кристалле имеет нелинейный вид

{\frac {c^{2}k^{2}}{\omega ^{2}}}=\varepsilon (\omega ,k)\mu =\left\lbrack 1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{0}^{2}(k)-\omega ^{2}}}\right\rbrack \mu ,                                                                                 (8)

соответствующий колебаниям нелинейного осциллятора с диспергирующей собственной частотой (5), и позволяет описать наблюдающиеся в экспериментах особенности оптических спектров образцов одномерных фотонных кристаллов. Формула (8) также может быть использована при моделировании дву- и трехмерных фотонных композитов: для этого в (5) достаточно произвести очевидную замену k\to {\overrightarrow {k}},a\to {\overrightarrow {a}}

Литература
  1. Pichkurenko S.V. Dispersion of light in the 1D photonic crystal. Proceedings of the 5th International Conference on Manufacturing, Material and Metallurgical Engineering (ICMMME 2020). IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. IOP Publishing Ltd., 2020, vol. 859, iss. 1, art. no. 012003. DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899X/859/1/012003
  2. Filatov V.V., Gorelik V.S., Pichkurenko S.V. Iodine plasmonic crystal as the visible-range spectral filter. Proceedings of the 5th International Conference on Manufacturing, Material and Metallurgical Engineering (ICMMME 2020). IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. IOP Publishing Ltd., 2020, vol. 859, iss. 1, art. no. 012001. DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899X/859/1/012001
  3. Gorelik V.S., Pichkurenko S.V., Filatov V.V. Optical characteristics of the aluminium mesoporous photonic crystal. Journal of Physics: Conference Series, 2019, vol. 1348, iss. 1, art. no. 012059. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1348/1/012059
  4. Filatov V.V., Gorelik V.S., Pichkurenko S.V. Stimulated axion-like bipolariton generation in the globular photonic crystal. Materials Science Forum, 2021, vol. 1047 MSF, pp. 134–139. DOI: https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/MSF.1047.134
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.